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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:00 Do 22.03.2012 | | Autor: | volk |
| Aufgabe | Elektron bei t=5s im Zustand [mm] |\psi(t_{1})>=|\psi_{1}>+2i|\psi_{2}>+3|\psi_{3}>
[/mm]
Superposition von orthog. Eigenzuständen, entsprechend [mm] E_{1}=2meV [/mm] , [mm] E_{2}=3meV [/mm] , [mm] E_{3}=4meV [/mm] des Hamiltonoperators
a) Mittelwert der Energie zur Zeit [mm] t_{1} [/mm] und [mm] t_{2}=t_{1}+10^{-3}s
[/mm]
b) Wahrscheinlichkeit, das System zu den zeiten [mm] t_{1} [/mm] und [mm] t_{2} [/mm] im Zustand [mm] |\psi_{2}> [/mm] zu finden |
Hallo,
ich hänge bei der Aufgabe. Bis jetzt habe ich
Normierung: [mm] 1=c^2*\integral_{-\infty}^{\infty}{dx 1*\psi_{1}^{*}\psi_{1}+4*\psi_{2}^{*}\psi_{2}+9*\psi_{3}^{*}\psi_{3}}=14 \Rightarrow c=\bruch{1}{\wurzel{14}}
[/mm]
a)
Für die Energie im Zustand [mm] t_{1} [/mm] würde ich die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Zustände mit der jeweiligen Energie multiplizieren
[mm] =\summe_{i=1}^{3}|<\psi_{i}|\psi>E_{i}=\bruch{1}{14}*E_{1}+\bruch{4}{14}*E_{2}+\bruch{9}{14}*E_{3}=\bruch{1}{7}meV+\bruch{6}{7}meV+\bruch{18}{7}meV=\bruch{25}{7}meV
[/mm]
Um den Mittelwert der Energie zur zeit [mm] t_{2} [/mm] zu berechnen, muss ich den Zeitentwicklungsoperator anwenden. Dieser lautet [mm] \hat{U}(t t_{0})=e^{-\bruch{i}{h}\hat{H}*(t-t_{0})}
[/mm]
Damit gilt [mm] |\psi t>=\hat{U}(t t_{0})|\psi t_{0}>
[/mm]
Hier weiß ich jetzt nicht weiter.
b)
Das System zur Zeit [mm] t_{1} [/mm] im Zustand [mm] |\psi_{2}> [/mm] zu finden kann ich oben ablesen. Das wäre [mm] \bruch{4}{14}=\bruch{2}{7}
[/mm]
Ich weiß nicht, wie ich mit dem Zeitentwicklungsoperator umzugehen habe. Ich habe ja keine Informationen ueber den Hamiltonoperator.
Waere nett, wenn mir jemand helfen koennte.
Viele Gruesse
volk
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:44 Fr 23.03.2012 | | Autor: | QCO |
Also da die [mm]\psi_i[/mm] ja Eigenzustände des Hamilton-Operators ([mm]H |E_n\rangle = E_n |E_n\rangle[/mm]) sein sollen, gilt (wenn man von einem abgeschlossenen, konservativen System ausgeht) für sie: [mm]|E_n(t)\rangle = U(t,t_0) |E_n(t_0)\rangle = exp \left ( -\frac{i}{\hbar} H \cdot (t-t_0) \right) |E_n(t_0)\rangle
= exp \left ( -\frac{i}{\hbar} (t-t_0) \cdot H \right) |E_n(t_0)\rangle
= exp \left ( -\frac{i}{\hbar} (t-t_0) E_n \right) |E_n(t_0)\rangle[/mm]
exp ist ja eine Reihe, also kann man H direkt auf [mm]|E_n\rangle[/mm] anwenden, was dann [mm]E_n |E_n\rangle[/mm] liefert.
Damit solltest du weiter rechnen können.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:05 Fr 23.03.2012 | | Autor: | volk |
Hallo QCO,
vielen Dank für deine Antwort.
Ich habe es jetzt so gemacht: [mm] |\psi(t_{2})>=\hat{U}(t_{2} t_{1})|\psi(t_{1})>=\bruch{1}{\wurzel{14}}e^{-\bruch{i}{h}*E_{1}*t}*{\psi}_{1}(t_{1})+\bruch{2i}{\wurzel{14}}*e^{-\bruch{i}{h}*E_{2}*t}*{\psi}_{2}(t_{1})+\bruch{3}{\wurzel{14}}*e^{-\bruch{i}{h}*E_{3}*t}*{\psi}_{3}(t_{1})
[/mm]
Für den Mittelwert der Energie
[mm] =<\psi_{i}(t_{2})|\psi(t_{2})>E_{i}=\bruch{1}{14}*E_{1}+\bruch{4}{14}*E_{2}+\bruch{9}{14}*E_{3}
[/mm]
Hier sieht man, dass die Energie gleich bleibt.
b)
Das System zur zeit [mm] t_{2}=t_{1}+10^{-3}s [/mm] im Zustand [mm] |\psi(t_{2})> [/mm] zu finden ist dann [mm] |\bruch{2i}{\wurzel{14}}*cos(\bruch{E_{2}*t_{2}}{h})-i*sin(\bruch{E_{2}*t_{2}}{h})|^2 [/mm] was ja wieder [mm] \bruch{4}{14} [/mm] ist, was aber falsch ist, da die Wahrscheinlichkeit ja oszillieren muss. Muss ich vielleicht nur den Realteil des Exponentialterms beachten?
Viele grüße
volk
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:34 Fr 23.03.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo QCO,
>
> vielen Dank für deine Antwort.
>
> Ich habe es jetzt so gemacht: [mm]|\psi(t_{2})>=\hat{U}(t_{2} t_{1})|\psi(t_{1})>=\bruch{1}{\wurzel{14}}e^{-\bruch{i}{h}*E_{1}*t}*{\psi}_{1}(t_{1})+\bruch{2i}{\wurzel{14}}*e^{-\bruch{i}{h}*E_{2}*t}*{\psi}_{2}(t_{1})+\bruch{3}{\wurzel{14}}*e^{-\bruch{i}{h}*E_{3}*t}*{\psi}_{3}(t_{1})[/mm]
>
> Für den Mittelwert der Energie
>
> [mm]=<\psi_{i}(t_{2})|\psi(t_{2})>E_{i}=\bruch{1}{14}*E_{1}+\bruch{4}{14}*E_{2}+\bruch{9}{14}*E_{3}[/mm]
>
> Hier sieht man, dass die Energie gleich bleibt.
Was nicht allzusehr überraschen sollte, da der Hamiltonoperator zeitunabhängig ist. Das ist in der klassischen Mechanik ja auch so.
>
> b)
>
> Das System zur zeit [mm]t_{2}=t_{1}+10^{-3}s[/mm] im Zustand
> [mm]|\psi(t_{2})>[/mm] zu finden ist dann
> [mm]|\bruch{2i}{\wurzel{14}}*cos(\bruch{E_{2}*t_{2}}{h})-i*sin(\bruch{E_{2}*t_{2}}{h})|^2[/mm]
> was ja wieder [mm]\bruch{4}{14}[/mm] ist, was aber falsch ist, da
> die Wahrscheinlichkeit ja oszillieren muss.
Warum?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:10 Fr 23.03.2012 | | Autor: | volk |
Hallo,
vielen Dank für deine Hilfe.
Ich dachte, dass ich so eine Art stehende Wellen habe, so dass die W'keit immer schwankt. Also, dass die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Zustände schwanken, aber die Gesamtenergie immer gleich bleibt.
Oder macht sich die Zeitabhängigkeit anders bemerkbar?
In der letzten Aufgabe soll ich die zeit [mm] t_{3} [/mm] bestimmen, in der das System wieder in den Anfangszustand [mm] |\psi(t_{1})> [/mm] zurückkehrt.
Hier würde ich dann die Realteile des Zeitentwicklungsoperators nehmen, also die [mm] cos(\bruch{E_{1}*t}{h}), cos(\bruch{E_{2}*t}{h}), cos(\bruch{E_{3}*t}{h}). [/mm] Hier muss dann jeweils gelten [mm] \bruch{E_{1}*t}{h}=2n\pi, \bruch{E_{2}*t}{h}=2n\pi, \bruch{E_{3}*t}{h}=2n\pi
[/mm]
[mm] t=\bruch{2n{\pi}h}{E_{1}}
[/mm]
[mm] t=\bruch{2n{\pi}h}{E_{2}}
[/mm]
[mm] t=\bruch{2n{\pi}h}{E_{3}}
[/mm]
Wenn man die Energien [mm] E_{1},E_{2},E_{3} [/mm] vergleicht, findet man die Zeit [mm] t=2*\bruch{2n{\pi}h}{E_{1}}=3*\bruch{2n{\pi}h}{E_{2}}=4*\bruch{2n{\pi}h}{E_{3}}
[/mm]
Viele grüße,
volk
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 So 25.03.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:33 Fr 23.03.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> a)
> Für die Energie im Zustand [mm]t_{1}[/mm] würde ich die
> Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Zustände mit der
> jeweiligen Energie multiplizieren
>
> [mm]=\summe_{i=1}^{3}|<\psi_{i}|\psi>E_{i}=\bruch{1}{14}*E_{1}+\bruch{4}{14}*E_{2}+\bruch{9}{14}*E_{3}=\bruch{1}{7}meV+\bruch{6}{7}meV+\bruch{18}{7}meV=\bruch{25}{7}meV[/mm]
Das echte und das linke Ende der Gleichungskette stimmen, die Summe nicht. Es ist mit [mm] $\psi [/mm] = [mm] \summe_i c_i \psi_i$:
[/mm]
[mm] = <\psi|E|\psi> =\summe_{i,j} \overline{c_i}c_j <\psi_i|E|\psi_j> = \summe_{i,j} \overline{c_i}c_j E_j <\psi_i|\psi_j>[/mm] .
Da die Energieeigenfunktionen [mm] $\psi_i$ [/mm] orthonal sind, fallen alle gemischten Terme weg, und es bleibt
[mm] = \summe_i |c_i|^2 E_i [/mm] .
Viele Grüße
Rainer
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