zeige CauchyFolge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:05 Mi 30.05.2012 | | Autor: | elmanuel |
| Aufgabe | Sei (an) eine reelle Folge mit der Eigenschaft
[mm] |a_n [/mm] − [mm] a_{n+1}| \le \frac{1}{2^n}
[/mm]
Zeige, dass [mm] (a_n) [/mm] eine Cauchyfolge ist. |
Hallo liebe Gemeinde!
also ich habe:
Definition von Cauchyfolge:
Für alle [mm] \varepsilon [/mm] gilt: es gibt einen Index N [mm] \in \IN [/mm] mit |an-am| < [mm] \varepsilon [/mm] für alle n,m [mm] \ge [/mm] N
an-am = an-a(n+1) + a(n+1)-an+2 + ...+ a(m-1)-am
[mm] \le 1/2^n \qquad \qquad \le 1/2^{n+1} \qquad \qquad \qquad \qquad \le 1/2^{m-1} [/mm]
[mm] \Rigtharrow [/mm]
|an-am| [mm] \le \sum_{k=0}^{m-1} (1/2)^n
[/mm]
|an-am| [mm] \le \sum_{k=0}^{m-1} (1/2)^n [/mm] = [mm] 2(1-(1/2)^m) [/mm] = 2- [mm] 2/2^m [/mm] = 2- [mm] 1/2^{m-1} \le [/mm] 2
hmm... jetzt fehlt mir noch der entscheidende schritt um das in die cauchydefinition zu packen...
bitte um denkanstoss
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:23 Mi 30.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sei (an) eine reelle Folge mit der Eigenschaft
> [mm]|a_n[/mm] − [mm]a_{n+1}| \le \frac{1}{2^n}[/mm]
> Zeige, dass [mm](a_n)[/mm]
> eine Cauchyfolge ist.
> Hallo liebe Gemeinde!
>
>
> also ich habe:
>
> Definition von Cauchyfolge:
>
> Für alle [mm]\varepsilon[/mm] gilt: es gibt einen Index N [mm]\in \IN[/mm]
> mit |an-am| < [mm]\varepsilon[/mm] für alle n,m [mm]\ge[/mm] N
[mm] \varepsilon> [/mm] 0 !!!!
>
>
> an-am = an-a(n+1) + a(n+1)-an+2 + ...+ a(m-1)-am
> [mm]\le 1/2^n \qquad \qquad \le 1/2^{n+1} \qquad \qquad \qquad \qquad \le 1/2^{m-1}[/mm]
Aua, gehts da drunter und drüber ....
1. Du gehst wohl von m>n aus. Das ist O.K.
2. Du solltest Beträge spendieren, also
[mm] |a_n-a_m| \le |a_n-a_{n+1}|+|a_{n+1}-a_{n+2}|+...+||a_{m-1}-a_{m}|.
[/mm]
>
> [mm]\Rigtharrow[/mm]
>
> |an-am| [mm]\le \sum_{k=0}^{m-1} (1/2)^n[/mm]
Da stimmt doch der Summattions index nicht ! ... und manch anderes auch nicht.
[mm] |a_n-a_m| \le |a_n-a_{n+1}|+|a_{n+1}-a_{n+2}|+...+||a_{m-1}-a_{m}| \le \summe_{k=n}^{m}\bruch{1}{2^k}
[/mm]
>
> |an-am| [mm]\le \sum_{k=0}^{m-1} (1/2)^n[/mm] = [mm]2(1-(1/2)^m)[/mm] = 2-
> [mm]2/2^m[/mm] = 2- [mm]1/2^{m-1} \le[/mm] 2
>
>
> hmm... jetzt fehlt mir noch der entscheidende schritt um
> das in die cauchydefinition zu packen...
[mm] |a_n-a_m| \le |a_n-a_{n+1}|+|a_{n+1}-a_{n+2}|+...+||a_{m-1}-a_{m}| \le \summe_{k=n}^{m}\bruch{1}{2^k}
[/mm]
Zeige: [mm] \summe_{k=n}^{m}\bruch{1}{2^k} \le \bruch{1}{2^{n-1}}
[/mm]
FRED
>
> bitte um denkanstoss
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:10 Mi 30.05.2012 | | Autor: | elmanuel |
danke fred!
> [mm]\varepsilon>[/mm] 0 !!!!
> Aua, gehts da drunter und drüber ....
> Da stimmt doch der Summattions index nicht ! ... und manch
> anderes auch nicht.
ja stimmt, hab paar fehler gemacht: war ein wenig abgelenkt, sorry :)
> Zeige: [mm]\summe_{k=n}^{m}\bruch{1}{2^k} \le \bruch{1}{2^{n-
1}}[/mm]
na dann:
[mm] \summe_{k=n}^{m}\bruch{1}{2^k} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{m}\bruch{1}{2^k} [/mm] - [mm] \summe_{k=0}^{n-1}\bruch{1}{2^k} [/mm]
[mm] \summe_{k=0}^{m}\bruch{1}{2^k} [/mm] = [mm]2(1-(1/2)^{m+1})[/mm] = 2-[mm](2/2)^{m+1}[/mm] = [mm] 2-(1/2)^{m} [/mm]
[mm] \summe_{k=0}^{n-1}\bruch{1}{2^k} [/mm] = [mm]2(1-(1/2)^{n})[/mm] = 2-[mm](2/2)^{n}[/mm] = [mm] 2-(1/2)^{n-1} [/mm]
also sei [mm] m\ge [/mm] n
[mm] |a_n [/mm] - [mm] a_m| \le \summe_{k=n}^{m}\bruch{1}{2^k} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2^{n-1}}-\bruch{1}{2^{m}} \le \bruch{1}{2^{n-
1}}
[/mm]
aber wie pack ich das jetzt noch korrekt in die definition von der cauchyfolge?
|
|
|
| |
|
> danke fred!
>
> > [mm]\varepsilon>[/mm] 0 !!!!
> > Aua, gehts da drunter und drüber ....
> > Da stimmt doch der Summattions index nicht ! ... und
> manch
> > anderes auch nicht.
>
> ja stimmt, hab paar fehler gemacht: war ein wenig
> abgelenkt, sorry :)
>
> > Zeige: [mm]\summe_{k=n}^{m}\bruch{1}{2^k} \le \bruch{1}{2^{n-
1}}[/mm]
>
> na dann:
>
> [mm]\summe_{k=n}^{m}\bruch{1}{2^k}[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{m}\bruch{1}{2^k}[/mm] - [mm]\summe_{k=0}^{n-1}\bruch{1}{2^k}[/mm]
>
>
> [mm]\summe_{k=0}^{m}\bruch{1}{2^k}[/mm] = [mm]2(1-(1/2)^{m+1})[/mm] = 2-[mm]\red{2}(\red{1}/2)^{m+1}[/mm] = [mm]2-(1/2)^{m}[/mm]
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n-1}\bruch{1}{2^k}[/mm] = [mm]2(1-(1/2)^{n})[/mm] = 2-[mm]\red{2}(\red{1}/2)^{n}[/mm] = [mm]2-(1/2)^{n-1}[/mm]
>
> also sei [mm]m\ge[/mm] n
>
> [mm]|a_n[/mm] - [mm]a_m| \le \summe_{k=n}^{m}\bruch{1}{2^k}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2^{n-1}}-\bruch{1}{2^{m}} \le \bruch{1}{2^{n-
1}}[/mm]
>
> aber wie pack ich das jetzt noch korrekt in die definition
> von der cauchyfolge?
Zu jedem [mm] \varepsilon>0 [/mm] gibt es [mm] N\in\IN [/mm] mit [mm] \frac{1}{2^{N-1}}<\varepsilon.
[/mm]
Für [mm] m,n\ge [/mm] N gilt dann [mm] |a_n-a_m|\le \frac{1}{2^{N-1}}<\varepsilon
[/mm]
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:21 Mi 30.05.2012 | | Autor: | elmanuel |
perfekt danke! :)
langsam vesteh ich diese Epsilon beweise ein wenig ...
|
|
|
|
