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zahlenreihe explizit lösen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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zahlenreihe explizit lösen: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:16 Mi 23.02.2005
Autor: Robert18

Hallo!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Habe morgen Schularbeit und sitze schon seit Stunden vor folgender für mich unlösbaren Zahlenreihe:
4; 2; 1; 0.5;....

die Zahlenreihe soll explizit gelöst werden.
Ich wäre über jeden Lösungsvorschlag sehr dankbar!
mfg Robert

        
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zahlenreihe explizit lösen: Tipp
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:20 Mi 23.02.2005
Autor: Loddar

Hallo Robert!

Zunächst auf den späten Abend ein [willkommenmr] !!

> Habe morgen Schularbeit und sitze schon seit Stunden vor
> folgender für mich unlösbaren Zahlenreihe:
>  4; 2; 1; 0.5;....
>  
> die Zahlenreihe soll explizit gelöst werden.

Hast Du gar keine Idee?

Tipp:
Versuche doch mal zwei aufeinanderfolgende Folgenglieder zu dividieren; also erst [mm] $\bruch{2}{4} [/mm] \ = \ ...$, dann [mm] $\bruch{1}{2} [/mm] \ = \ ...$ usw.

Fällt Dir etwas auf?


Gruß
Loddar


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zahlenreihe explizit lösen: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:27 Mi 23.02.2005
Autor: Robert18

danke erstmal...mir ist natürlich bewusst, dass die zahlenreihe fortgesetzt wird indem man immer halbiert.

hätte die aufgabe folgendermaßen gelöst:

x(n)=n/2

demnach wäre zB. das 3. Folgeglied: x(3) = 3/2, also 1,5. Dieser Wert deckt sich nicht mit dem vorgegebenen WErt (1) ab, also ist die Formel falsch.


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zahlenreihe explizit lösen: Geometrische Folge
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:35 Mi 23.02.2005
Autor: Loddar


> danke erstmal...mir ist natürlich bewusst, dass die
> zahlenreihe fortgesetzt wird indem man immer halbiert.

[daumenhoch]



> hätte die aufgabe folgendermaßen gelöst:
> x(n)=n/2
>  
> demnach wäre zB. das 3. Folgeglied: x(3) = 3/2, also 1,5.
> Dieser Wert deckt sich nicht mit dem vorgegebenen WErt (1)
> ab, also ist die Formel falsch.

Da hast Du recht.

So erhältst Du ja "lediglich" die rekursive Vorschrift:

[mm] a_n [/mm]  = [mm] \begin{cases} a_1 \ = \ 4 \\ \bruch{a_{n+1}}{a_n} \ = \ \bruch{1}{2} \end{cases} [/mm]



Hast Du denn schon mal von einer sogenannten geometrischen Folge gehört?

Diese hat als besonderes Merkmal, daß der Quotient zwischen zwei aufeinanderfolgenden Folgegliedern immer konstant ist:
[mm] $\bruch{a_{n+1}}{a_n} [/mm] \ = \ q \ = \ const.$

Diese geometrische Folge hat die explizite Form:

[mm] $a_n [/mm] \ = \ [mm] a_1 [/mm] * [mm] q^{n-1}$ [/mm]


Kannst Du jetzt die explizite Formel für Deine Aufgabe ermitteln?


Ich muß jetzt weg [mussweg], daher ...

... [gutenacht]

Loddar


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zahlenreihe explizit lösen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:40 Mi 23.02.2005
Autor: oliver.schmidt

wenn loddar weg muss, übernehm ich den Rest der Frage wenns erlaubt ist, obwohl Loddar eigentlich die Antwort schon geliefert hat ;-)

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zahlenreihe explizit lösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:41 Mi 23.02.2005
Autor: Robert18

Ich komm leider einfach nicht drauf! Hatt zufällig wär die Lösung?

lG

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zahlenreihe explizit lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:47 Mi 23.02.2005
Autor: oliver.schmidt

also noch mal der Trick mit der geometrischen Folge:

4 2 1 0.5  ....

es ist [mm] a_1=4 [/mm] : das erste Glied der Folge

und [mm] q=\bruch{1}{2} [/mm]  der Quotient zweier aufeinanderfolgender Glieder

[mm] a_n=a_1*q^{n-1} [/mm]

musst doch nur noch einsetzen...

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zahlenreihe explizit lösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:56 Mi 23.02.2005
Autor: Robert18

Habs jetzt eingesetzt und anfangs stimmts auch, aber ab der 3. folge stimmen die Lösungen nicht mehr:

a(n)=4* [mm] 1/2^1-1=2 [/mm]
[mm] a(n)=2*1/2^2-1=1 [/mm]
[mm] a(n)=1*1/2^3-1=0,25 [/mm] --> da sollte ja eigentlich 0 herauskommen....

habe ich falsch eingesetzt?

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zahlenreihe explizit lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:08 Mi 23.02.2005
Autor: oliver.schmidt


> Habs jetzt eingesetzt und anfangs stimmts auch, aber ab der
> 3. folge stimmen die Lösungen nicht mehr:
>  
> a(n)=4* [mm]1/2^1-1=2 [/mm]
>  [mm]a(n)=2*1/2^2-1=1 [/mm]
>  [mm]a(n)=1*1/2^3-1=0,25[/mm] --> da sollte ja eigentlich 0

> herauskommen....
>  
> habe ich falsch eingesetzt?

jo hast du

[mm] a_1=4 [/mm] ist das Anfangsglied, das ist konstant und ändert sich nie !

... und dann beachte

dass es nicht [mm] a_n=a_1*q^n-1 [/mm]

sondern [mm] a_n=a_1*q^{n-1} [/mm]  heisst , also die letzte eins steht auch noch im Exponenten

also:

[mm] a_1=4*(\bruch{1}{2})^{1-1} [/mm]
[mm] a_2=4*(\bruch{1}{2})^{2-1} [/mm]

....

[mm] a_n=4*(\bruch{1}{2})^{n-1} [/mm]

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zahlenreihe explizit lösen: So auch richtig???
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:15 Mi 23.02.2005
Autor: Bastiane

Hallo ihr!

Habe gerade mal eure Diskussion gelesen und mich gefragt, ob denn meine Lösung nicht auch richtig wäre:
[mm] a_n=\bruch{a_{n-1}}{2} [/mm]

Ich glaube, so etwas ähnliches hatte auch Loddar schon geschrieben - aber jetzt weiß ich gar nicht mehr so genau, was er da hatte.
Ist das denn verkehrt? So ist es doch eigentlich viel einfacher - finde ich jedenfalls. Oder ist die Aufgabenstellung nur anders gemeint?

Viele Grüße
Bastiane
[banane]

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zahlenreihe explizit lösen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:19 Mi 23.02.2005
Autor: oliver.schmidt

doch das wäre die rekursive Lösung

aber wenn ich jetzt sage, rechne mir a(100) aus, müsstest du erst a(99) kennen, und dazu erst a(98)

merkst du was.....

gesucht ist ja die explizite Form, d.h nach einsetzen von n erhälst du direkt die Lösung:

[mm] a_n=4*(\bruch{1}{2})^{n-1} [/mm]

ich hoffe ich konnte den Unterschied verdeutlichen...

OLIVER

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zahlenreihe explizit lösen: Danke.
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:39 Do 24.02.2005
Autor: Bastiane

Hallo Oliver!
> doch das wäre die rekursive Lösung
>  
> aber wenn ich jetzt sage, rechne mir a(100) aus, müsstest
> du erst a(99) kennen, und dazu erst a(98)
>  
> merkst du was.....

Ja, klar - stimmt. ;-)
  

> gesucht ist ja die explizite Form, d.h nach einsetzen von n
> erhälst du direkt die Lösung:
>  
> [mm]a_n=4*(\bruch{1}{2})^{n-1} [/mm]
>  
> ich hoffe ich konnte den Unterschied verdeutlichen...

Ja, das konntest du. Hatte ich mir fast gedacht, dass es an dem Wort explizit liegt. Mit diesem Wort konnte ich in diesem Zusammenhang nämlich irgendwie nichts anfangen. Aber jetzt ist es klar. :-)

Viele Grüße
Bastiane
[cap]


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