z modulo 5 körper < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:36 Di 15.02.2005 | | Autor: | carlito |
hi,
wieso ist z modulo 5 ein körper?
wenn ich zum beispiel zu dem element 3 das inverse suche, gibt es doch kein -3 ???
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:55 Di 15.02.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
Was suchst du? das additive Inverse ist 2 denn 3+2=5=0mod5 das multiplikative Inverse hier auch 2 denn 2*3=6=1mod5
Stell einfach die Multiplikations und die Additionstafeln auf dann siehst du die Inversen! Du wirst auch fesstellen dass das nur mod Primzahl geht, sonst gibt es keine mult.Inverse.
Gruss leduart
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gibt es einen beweis dazu wieso nur Z modulo Primzahlen ein Körper ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:47 Di 15.02.2005 | | Autor: | Hexe |
hm für |G| gerade ist der Beweis einfach, denn die 2 hat in diesen kein Inverses der Multiplikation. Für den Rest ist klar das es Nullteiler gibt, also kann das ganze kein Körper sein.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:07 Di 15.02.2005 | | Autor: | carlito |
hi leduart,
du meinst weil 3+2 hier 0 ergibt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:24 Di 15.02.2005 | | Autor: | taura |
Ja, das war gemeint. Das additive Inverse ist ja gerade so definiert, dass bei Addition das neutrale Element, in dem fall 0 rauskommt.
Alternativ kannst du dir auch einfach überlegen, was -3mod5 ist, dann kommst du auch auf 2.
Noch ein kleiner Tipp: du möchtest doch sicher, dass deine Frage beanwortet wird, also schreib sie besser auch als Frage und nicht als Mitteilung, dann wird man leichter darauf aufmerksam, dass du noch auf eine Reaktion wartest 
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:34 Di 15.02.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Ja, das kann man leicht beweisen. Man zeigt, dass [mm] $\IZ/p\IZ$ [/mm] ein endlicher Integritätsbereich ist (also ein nullteilerfrei Ring mit Eins), und endliche Integritätsbereiche sind immer automatisch Körper.
Warum?
Weil für alle $a [mm] \in K\setminus\{0\}$ [/mm] die Abbildung
[mm] $\varphi_a \, [/mm] : [mm] \, \begin{array}{ccc} K \setminus \{0\} & \to & K\setminus \{0\} \\[5pt] x & \mapsto & x \cdot a \end{array}$
[/mm]
nach Voraussetzung wohldefiniert und injektiv ist (wegen der Nullteilerfreiheit) und daher auch surjektiv (d.h. es gibt immer ein $b [mm] \in [/mm] K [mm] \setminus \{0\}$ [/mm] mit $b [mm] \cdot [/mm] a =1$, also ein Inverses).
Liebe Grüße
Stefan
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