z.z. erz(A) Untergruppe von G < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm]\left(G,*\right)[/mm] eine Gruppe und [mm]A\subset\ G[/mm]
Die Menge: [mm]erz(A):=\left\{ a_i *...*a_n: n\in\IN\sub, a_i\in A\, oder\, a_i^{-1}\in\ A \right\}[/mm] heisst die von A erzeugte Untergruppe.
a) Zeigen Sie, dass [mm]erz(A)[/mm] die kleinste Untergruppe von G ist, die A enthält, d.h. Sie müssen die folgenden beiden Aussagen beweisen:
(i)[mm]erz(A)[/mm] ist eine Untergruppe von A.
(ii) ist [mm]U\subset G[/mm] eine Untergruppe von G, die A enthält, dann gilt[mm]erz(A)\subset U[/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Mein Lösungsansatz bisher:
zu zeigen $erz(A)$ ist Untergruppe von [mm] $G$\\
[/mm]
$erz(A)$ ist Untergruppe von $G$ [mm] gdw.:\\
[/mm]
[mm] $erz(A)\subset [/mm] G$ und für $erz(A)$ gelten die [mm] Gruppenaxiome\\
[/mm]
zu zeigen: [mm] $erz(A)\subset G$\\
[/mm]
Da [mm] $A\subset [/mm] G$ und jedes [mm] $a_i$ [/mm] oder [mm] $a_i^{-1}\in [/mm] A$ folgt: jedes [mm] $a_i$ [/mm] und [mm] $a_i^{-1}\in [/mm] G$
Das Gruppenaxiom vom inversen Element besagt, dass zu jedem Element [mm] $a\in [/mm] G$
ein Element [mm] $a^{-1} \in [/mm] G $ [mm] existiert.\\
[/mm]
$=>$ Jedes Element [mm] $a_i$ [/mm] oder [mm] $a_i^{-1}$ [/mm] ist [mm] $\in\ [/mm] G$ $=>$
[mm] $erz(A)\in [/mm] G$ [mm] \\
[/mm]
zu zeigen: für $erz(A)$ gelten die [mm] Gruppenaxiome\\
[/mm]
Assoziativität: Da [mm] $erz(A)\in\ [/mm] G$ und auf $erz(A)$ die selbe Verknüpfung definiert ist wie auf $G$ folgt aus der Assoziativität von $G$ die Assoziativität von $erz(A)$.
Neutrales Element: [mm] $\exists !e\in [/mm] G$ mit $g*e=g$ [mm] $(g\in [/mm] G)$ $=>$ Wenn $erz(A)$ eine Untergruppe von $G$ ist, dann muss $erz(A)$ ebenfalls ein neutrales Element beinhalten. Aus der Eindeutigkeit von $e$ folgt, dass nur $e$ dieses neutrale Element sein kann.
zu zeigen: [mm] $e\in [/mm] erz(A)$
Gegenbeispiel: Sei $G [mm] \left(Z,+,0\right) [/mm] $ und [mm] $A:=\{5,7\}$
[/mm]
$=> [mm] erz(A)=\{a_i *...*a_n:n\in\mathbb{N} , a_i=5\lor7 \lor-5 \lor-7 \};$ $0\notin [/mm] erz(A)$
Meine Frage lautet jetzt: Sind die Überlegungen bisher korrekt? Eigentlich soll ich doch zeigen, dass erz(A) eine Untergruppe ist, aber mein Gegenbeispiel sagt doch im grunde, dass es sich bei erz(A) nicht zwangsläuftg um eine Untergruppe handelt.
P.S: Bin neu hier und hoffe ich habe jetzt alles richtig eingegeben, und im richtigen forum eingetragen. herzlichen dank jedenfalls schonmal im vorraus.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:50 Fr 26.05.2006 | | Autor: | felixf |
Tach!
> Sei [mm]\left(G,*\right)[/mm] eine Gruppe und [mm]A\subset\ G[/mm]
> Die
> Menge: [mm]erz(A):=\left\{ a_i *...*a_n: n\in\IN\sub, a_i\in A\, oder\, a_i^{-1}\in\ A \right\}[/mm]
> heisst die von A erzeugte Untergruppe.
> a) Zeigen Sie, dass [mm]erz(A)[/mm] die kleinste Untergruppe von G
> ist, die A enthält, d.h. Sie müssen die folgenden beiden
> Aussagen beweisen:
> (i)[mm]erz(A)[/mm] ist eine Untergruppe von A.
> (ii) ist [mm]U\subset G[/mm] eine Untergruppe von G, die A enthält,
> dann gilt[mm]erz(A)\subset U[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem
> Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
> Mein Lösungsansatz bisher:
> zu zeigen [mm]erz(A)[/mm] ist Untergruppe von [mm]G[/mm][mm] \\[/mm]
> [mm]erz(A)[/mm] ist
> Untergruppe von [mm]G[/mm] [mm]gdw.:\\[/mm]
> [mm]erz(A)\subset G[/mm] und für [mm]erz(A)[/mm] gelten die [mm]Gruppenaxiome\\[/mm]
> zu zeigen: [mm]erz(A)\subset G[/mm][mm] \\[/mm]
> Da [mm]A\subset G[/mm] und jedes [mm]a_i[/mm]
> oder [mm]a_i^{-1}\in A[/mm] folgt: jedes [mm]a_i[/mm] und [mm]a_i^{-1}\in G[/mm]
> Das
> Gruppenaxiom vom inversen Element besagt, dass zu jedem
> Element [mm]a\in G[/mm]
> ein Element [mm]a^{-1} \in G[/mm] [mm]existiert.\\[/mm]
> [mm]=>[/mm] Jedes Element [mm]a_i[/mm] oder [mm]a_i^{-1}[/mm] ist [mm]\in\ G[/mm] [mm]=>[/mm]
> [mm]erz(A)\in G[/mm] [mm]\\[/mm]
Vorsicht! Erstmal musst du noch zeigen, dass Produkte von solchen Elementen wieder in $G$ liegen. Wenn du es schon so ausfuehrlich machen willst, dann auch richtig  Ausserdem: es heisst $erz(A) [mm] \subseteq [/mm] G$ und nicht $erz(A) [mm] \in [/mm] G$!
> zu zeigen: für [mm]erz(A)[/mm] gelten die [mm]Gruppenaxiome\\[/mm]
>
Das wichtigste was fehlt und was du zuerst zeigen solltest, ist die Abgeschlossenheit bzgl. der Verknuepfung: Sind $a, b [mm] \in [/mm] erz(A)$, so auch $a [mm] \cdot [/mm] b$.
> Assoziativität: Da [mm]erz(A)\in\ G[/mm] und auf [mm]erz(A)[/mm] die selbe
> Verknüpfung definiert ist wie auf [mm]G[/mm] folgt aus der
> Assoziativität von [mm]G[/mm] die Assoziativität von [mm]erz(A)[/mm].
Genau.
> Neutrales Element: [mm]\exists !e\in G[/mm] mit [mm]g*e=g[/mm] [mm](g\in G)[/mm] [mm]=>[/mm]
> Wenn [mm]erz(A)[/mm] eine Untergruppe von [mm]G[/mm] ist, dann muss [mm]erz(A)[/mm]
> ebenfalls ein neutrales Element beinhalten. Aus der
> Eindeutigkeit von [mm]e[/mm] folgt, dass nur [mm]e[/mm] dieses neutrale
> Element sein kann.
> zu zeigen: [mm]e\in erz(A)[/mm]
> Gegenbeispiel: Sei [mm]G \left(Z,+,0\right)[/mm]
> und [mm]A:=\{5,7\}[/mm]
> [mm]=> erz(A)=\{a_i *...*a_n:n\in\mathbb{N} , a_i=5\lor7 \lor-5 \lor-7 \};[/mm]
Dir ist klar, dass die Gruppenverknuepfung nicht [mm] $\cdot$, [/mm] sondern $+$ ist?
> [mm]0\notin erz(A)[/mm]
Wieso das? Hier ist $erz(A) = G$.
Uebrigens: Hattet ihr das Untergruppenkriterium? Damit kannst du viel schneller nachrechnen, dass $erz(A)$ eine Untergruppe ist...
LG Felix
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