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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:34 Fr 03.10.2008 | | Autor: | MasterEd |
| Aufgabe | | Gibt es eine Zahl x, so dass "x hoch x hoch x hoch x ..." (unendlich oft potenzieren) den Wert 2 annimmt? |
Hallo,
diese Frage bereitet mir Probleme. Eine Lösung soll [mm] $x=\wurzel{2}$ [/mm] sein.
Wenn ich aber [mm] $\wurzel{2}^\wurzel{2}$ [/mm] rechne und das Ergebnis hoch [mm] \wurzel{2} [/mm] und das Ergebnis dann nochmal hoch [mm] \wurzel{2}, [/mm] so liege ich bereits über dem Wert 2.
Jetzt habe ich gelesen, man müsse Potenztürme immer von oben nach unten berechnen. Ich beginne also wieder mit [mm] $\wurzel{2}^\wurzel{2}$ [/mm] und fasse das Ergebnis dieses mal nicht als Basis sondern als Exponent auf. Ich rechne also nun [mm] \wurzel{2} [/mm] hoch das Ergebnis und dann wieder [mm] \wurzel{2} [/mm] hoch das nächste Ergebnis. Auf diesem Wege scheint das ganze gegen 2 zu konvergieren.
Meine Fragen:
(1) Warum kommen auf beiden Wegen unterschiedliche Ergebnisse raus? Am Ende habe ich doch jeweils den gleichen Term berechnet?
(2) Wie kann ich den Potenzturm "von oben nach unten" berechnen, wenn es doch unendlich viele Potenzen sein sollen und es somit kein "ganz oben" geben kann?
(3) Wie kann ich beweisen, dass [mm] \wurzel{2} [/mm] tatsächlich die Lösung ist?
(4) Wie würde ich auf [mm] \wurzel{2} [/mm] als Ergebnis kommen, wenn ich das
Ergebnis nicht vorher gewusst hätte?
Ich habe diese Frage nirgendwo sonst gestellt. Vielen Dank für Eure Hilfe!!!
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> Gibt es eine Zahl x, so dass "x hoch x hoch x hoch x ..."
> (unendlich oft potenzieren) den Wert 2 annimmt?
> Hallo,
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> diese Frage bereitet mir Probleme. Eine Lösung soll
> [mm]x=\wurzel{2}[/mm] sein.
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> Wenn ich aber [mm]\wurzel{2}^\wurzel{2}[/mm] rechne und das Ergebnis
> hoch [mm]\wurzel{2}[/mm] und das Ergebnis dann nochmal hoch
> [mm]\wurzel{2},[/mm] so liege ich bereits über dem Wert 2.
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> Jetzt habe ich gelesen, man müsse Potenztürme immer von
> oben nach unten berechnen. Ich beginne also wieder mit
> [mm]\wurzel{2}^\wurzel{2}[/mm] und fasse das Ergebnis dieses mal
> nicht als Basis sondern als Exponent auf. Ich rechne also
> nun [mm]\wurzel{2}[/mm] hoch das Ergebnis und dann wieder [mm]\wurzel{2}[/mm]
> hoch das nächste Ergebnis. Auf diesem Wege scheint das
> ganze gegen 2 zu konvergieren.
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> Meine Fragen:
> (1) Warum kommen auf beiden Wegen unterschiedliche
> Ergebnisse raus? Am Ende habe ich doch jeweils den gleichen
> Term berechnet?
den gleichen Term ? eben nicht !
Bei der Berechnung solcher "Potenztürme" gilt das
Assoziativgesetz nicht ! Eigentlich sollte
man der Klarheit zuliebe Klammern schreiben.
An einem Beispiel siehst du dies sofort:
[mm] (3^3)^3=27^3=19683
[/mm]
[mm] 3^{(3^3)}=3^{27}=7625597484987
[/mm]
> (2) Wie kann ich den Potenzturm "von oben nach unten"
> berechnen, wenn es doch unendlich viele Potenzen sein
> sollen und es somit kein "ganz oben" geben kann?
Das ist wirklich eine gute Frage !
Allerdings wirst du auch Schwierigkeiten haben, einen
unendlichen Potenzturm "von unten nach oben"
durchzurechnen... im einen Fall kannst du nicht
anfangen, im anderen nicht aufhören. Was ist
schlimmer ? 
Man kann in solchen Situationen nur mit dem
Grenzwertbegriff etwas vernünftiges erreichen.
> (3) Wie kann ich beweisen, dass [mm]\wurzel{2}[/mm] tatsächlich die
> Lösung ist?
Das sollte wohl mit einem mehrteiligen Beweis möglich
sein, in dem man die rekursive Zahlenfolge
[mm] a_n=\begin{cases} \wurzel{2}, & \mbox{für } n=1 \\ \wurzel{2}^{\ a_{n-1}}, & \mbox{für } n>1 \end{cases}
[/mm]
betrachtet und dann z.B. zeigt:
I.) Die Folge ist monoton wachsend.
II.) [mm] a_n<2 [/mm] für alle [mm] n\in \IN
[/mm]
III.) Für jedes positive [mm] \varepsilon [/mm] gibt es ein n mit [mm] a_n>2-\varepsilon
[/mm]
oder etwa:
I.) Die Folge ist monoton wachsend.
II.) Die Folge ist beschränkt.
(aus I. und II. folgt, dass es einen Grenzwert geben muss)
III.) Die Annahme, dass der Grenzwert nicht gleich 2 ist,
führt auf einen Widerspruch.
> (4) Wie würde ich auf [mm]\wurzel{2}[/mm] als Ergebnis kommen, wenn
> ich das Ergebnis nicht vorher gewusst hätte?
Das ist möglicherweise schwieriger. In solchen Fällen
heisst es zunächst einmal probieren, Vermutungen
aufstellen, gewisse davon widerlegen und irgendwann
den nötigen "Geistesblitz" zünden !
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:19 Sa 04.10.2008 | | Autor: | MasterEd |
Herzlichen Dank für Deine Hilfe!
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gern geschehen.
Blitz schon gezündet ?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:19 So 23.11.2008 | | Autor: | ksd |
Die Antwort ist unnötig kompliziert. Zudem muss man nicht beweisen, was man schon kennt. Besser wäre es das Ergebnis zu ermitteln. Und das geht ganz einfach:
[mm] x^{x^{x^{x^{x^{x^{ ..}.}}}} }= [/mm] 2
lässt sich schreiben als
[mm] x^{x^{x^{x^{x^{x^{ ..}.}}}} }= [/mm] = y mit y = 2
Da unendlich oft potenziert wird, darf man das einmal mehr (oder öfter) tun, wobei wir zur Vereinfachung die bisherige Folge durch y ersetzen. Also
[mm] x^y [/mm] = 2
UUUps ... Das kennen wir schon. y ist laut Aufgabenstellung bereits 2.
Damit steht hier
[mm] x^2 [/mm] = 2
Und das können wir leicht ausrechnen. Wenn [mm] x^2 [/mm] =2 ist, dann ist x = Wurzel (2). ... ganz ohne viel Mathematik.
Es bleibt einem (richtigen) Mathematiker (ich bin keiner) überlassen, das in eine mathematisch korrekte Form zu bringen.
KS
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> Die Antwort ist unnötig kompliziert. Zudem muss man nicht
> beweisen, was man schon kennt. Besser wäre es das Ergebnis
> zu ermitteln. Und das geht ganz einfach:
>
> [mm]x^{x^{x^{x^{x^{x^{ ..}.}}}} }=2[/mm]
> lässt sich schreiben als
> [mm]x^{x^{x^{x^{x^{x^{ ..}.}}}} }=y[/mm] mit y = 2
> Da unendlich oft potenziert wird, darf man das einmal mehr
> (oder öfter) tun, wobei wir zur Vereinfachung die bisherige
> Folge durch y ersetzen. Also
> [mm]x^y[/mm] = 2
> UUUps ... Das kennen wir schon. y ist laut
> Aufgabenstellung bereits 2.
> Damit steht hier
> [mm]x^2[/mm] = 2
> Und das können wir leicht ausrechnen. Wenn [mm]x^2[/mm] =2 ist,
> dann ist x = Wurzel (2). ... ganz ohne viel Mathematik.
> Es bleibt einem (richtigen) Mathematiker (ich bin keiner)
> überlassen, das in eine mathematisch korrekte Form zu
> bringen.
> KS
>
>
>
Genau deine Idee ist das, was ich als den erforderlichen
"Geistesblitz" bezeichnet habe. Mit meinem Artikel
"Wie baut man einen Turm" wollte ich genau diese
Idee gewissermassen herauskitzeln: Betrachte den
Turm y als einen Turm mit dem untersten Baustein
x, über welchem als Exponent ein Turm steht, der
identisch mit dem ganzen Turm y ist. Daraus gewinnt
man genau die Gleichung [mm] y=x^y=2 [/mm] .
Ich fand es aber wichtig, zuerst darauf hinzuweisen,
dass bei "Potenztürmen" kein Assoziativgesetz gilt.
Damit bin ich auf die verschiedenen gestellten Fragen
eingegangen.
Das wurde dann schon länger als unbedingt nötig.
Nebenbei:
Bei der Rechnung, wie du sie vorschlägst, muss man
eine nicht von vornherein gesicherte Annahme machen,
nämlich dass eine Lösung x überhaupt existiert.
Um das Ganze mathematisch "wasserdicht" zu machen,
kommt man also nicht ganz um Grenzwertbetrachtungen herum.
LG
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> Jetzt habe ich gelesen, man müsse Potenztürme immer von
> oben nach unten berechnen.
> (2) Wie kann ich den Potenzturm "von oben nach unten"
> berechnen, wenn es doch unendlich viele Potenzen sein
> sollen und es somit kein "ganz oben" geben kann?
Diese Frage hat mich noch zu folgendem Vergleich gebracht:
Man kann einen Turm aus Bauklötzen auf verschiedene
Arten bauen:
1.) Man legt den ersten Klotz auf den Boden und dann
stets einen weiteren Klotz auf den schon vorliegenden
Turm.
2.) Man legt den ersten Klotz auf den Boden und dann
stets einen weiteren Klotz unter den schon vorliegenden
Turm.
(dazu muss man jeweils, anstatt einen Klotz hoch hinauf
zu bringen, den bisherigen Turm um eine Klotzhöhe anheben)
3.) Man könnte den jeweils neuen Klotz im Prinzip an belie-
biger Stelle zwischen zwei Klötzen in den Turm einschieben.
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