x hoch m gleich y hoch n < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:05 Mi 13.04.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Für $x,y$ in [mm] $\b{N}$ [/mm] schreiben wir $x [mm] \sim [/mm] y$ falls es $m,n$ in [mm] $\b{N}$ [/mm] gibt mit [mm] $x^{m}=y^{n}$
[/mm]
a) Zeige, dass [mm] "$\sim$" [/mm] eine Äquivalenzrelation ist.
b) Ist [mm] $\tilde{\b{N}}$ [/mm] unendlich oder endlich? |
Hallo,
a)
[mm] $\forall [/mm] x,y,z,m,n,k [mm] \in \b{N}$ [/mm]
Reflexivität : $ m=n [mm] \Rightarrow x^{m}=x^{n} \Rightarrow [/mm] x [mm] \sim [/mm] x$
Symmetrie: $x [mm] \sim [/mm] y [mm] \Rightarrow x^{m}=y^{n} \gdw [/mm] 1 = [mm] \frac{y^{n}}{x^{m}} \gdw 1=\frac{x^{m}}{y^{n}} \Rightarrow y^{n}=x^{m} \Rightarrow [/mm] y [mm] \sim [/mm] x$
Trans: $x [mm] \sim [/mm] y [mm] \wedge [/mm] y [mm] \sim [/mm] z [mm] \Rightarrow x^{m}=y^{n} \wedge y^{n}=z^{k} \Rightarrow x^{m}=z^{k} \Rightarrow [/mm] x [mm] \sim [/mm] z$
b) Es gibt unendlich viele Äquivalenzklassen. Beweisen kann ich das nicht. Eine ist zum Beispiel $y=x=m=n$, eine andere $n=m+1; [mm] y=x^{\frac{m}{m+1}}$ [/mm] und das kann man unendlich variieren kann muss es unendlich viele Äquivalenzklassen geben?
Wie beweise ich das?
Danke und Gruss
kushkush
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:28 Mi 13.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Für [mm]x,y[/mm] in [mm]\b{N}[/mm] schreiben wir [mm]x \sim y[/mm] falls es [mm]m,n[/mm] in
> [mm]\b{N}[/mm] gibt mit [mm]x^{m}=y^{n}[/mm]
>
> a) Zeige, dass "[mm]\sim[/mm]" eine Äquivalenzrelation ist.
> b) Ist [mm]\tilde{\b{N}}[/mm] unendlich oder endlich?
>
> Hallo,
>
> a)
>
> [mm]\forall x,y,z,m,n,k \in \b{N}[/mm]
>
> Reflexivität : [mm]m=n \Rightarrow x^{m}=x^{n} \Rightarrow x \sim x[/mm]
>
> Symmetrie: [mm]x \sim y \Rightarrow x^{m}=y^{n} \gdw 1 = \frac{y^{n}}{x^{m}} \gdw 1=\frac{x^{m}}{y^{n}} \Rightarrow y^{n}=x^{m} \Rightarrow y \sim x[/mm]
>
richtig
> Trans: [mm]x \sim y \wedge y \sim z \Rightarrow x^{m}=y^{n} \wedge y^{n}=z^{k} \Rightarrow x^{m}=z^{k} \Rightarrow x \sim z[/mm]
so nicht richtig. : es gilt [mm] x^n=y°m [/mm] und [mm] y^k=z^l
[/mm]
wieso kannst du [mm] y^n=z^k [/mm] schreiben?
> b) Es gibt unendlich viele Äquivalenzklassen. Beweisen
> kann ich das nicht. Eine ist zum Beispiel [mm]y=x=m=n[/mm],
du meinst x=y und m=n
>eine
> andere [mm]n=m+1; y=x^{\frac{m}{m+1}}[/mm] und das kann man
wieso ist [mm] x^{\frac{m}{m+1}} [/mm] eine natürliche Zahl?
ich hab angenommen [mm] x,y\in\IN
[/mm]
> unendlich variieren kann muss es unendlich viele
> Äquivalenzklassen geben?
du kannst aus [mm] x^n=y^m x^{k*n}=y^{k*m} [/mm] machen
überleg mal, was für n,m in frage kommt.
Gruss leduart.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:00 Mi 13.04.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo
> Trans so nicht richtig
[mm] $\forall [/mm] x,y,z,k,m,n,l [mm] \in \IN$:
[/mm]
[mm] $x\sim [/mm] y [mm] \wedge [/mm] y [mm] \sim [/mm] z [mm] \Rightarrow x^{n}=y^{m} \wedge y^{k}=z^{l} \gdw y=x^{n/m} \wedge y=z^{k/l} \Rightarrow x^{kn}=z^{ml} \Rightarrow [/mm] x [mm] \sim [/mm] z$
> wieso ist [mm] $x^{\frac{m}{m+1}}$ [/mm] eine natürliche Zahl?
Ist es ja für x=2 und m=1 nicht...
> überleg was für n,m in Frage kommt
[mm] $2^{2}=4^{1}$
[/mm]
[mm] $2^{3}=8^{1}=2^{3}$
[/mm]
[mm] $4^{2}=2^{4}$
[/mm]
[mm] $3^{4}=9^{2}$
[/mm]
m bzw. n müssen vielfache voneinander sein oder x und y müssen vielfache voneinander um genau gleich viel ?
> Gruss
Danke
Gruss
kushkush
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:00 Mi 13.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Hallo
>
>
> > Trans so nicht richtig
> [mm]\forall x,y,z,k,m,n,l \in \IN[/mm]:
>
> [mm]x\sim y \wedge y \sim z \Rightarrow x^{n}=y^{m} \wedge y^{k}=z^{l} \gdw y=x^{n/m} \wedge y=z^{k/l} \Rightarrow x^{kn}=z^{ml} \Rightarrow x \sim z[/mm]
wieder ist [mm] x^{n/m} [/mm] nicht unbedingt ne ganze Zahl
[mm] x^n=y^m [/mm] und [mm] y^k=z^l
[/mm]
daraus [mm] x^{kn}=y^{km} [/mm] und [mm] y^{km}=z^{kl} [/mm] damit [mm] x^{kn}=z^{kl} [/mm] also x [mm] \sim [/mm] z
>
>
>
> > wieso ist [mm]x^{\frac{m}{m+1}}[/mm] eine natürliche Zahl?
>
> Ist es ja für x=2 und m=1 nicht...
>
>
> > überleg was für n,m in Frage kommt
>
> [mm]2^{2}=4^{1}[/mm]
> [mm]2^{3}=8^{1}=2^{3}[/mm]
> [mm]4^{2}=2^{4}[/mm]
> [mm]3^{4}=9^{2}[/mm]
>
> m bzw. n müssen vielfache voneinander sein oder x und y
> müssen vielfache voneinander um genau gleich viel ?
in einer Äquivalenzklasse sind z. Bsp 2 und alle [mm] 2^n [/mm] n beliebig, in einer anderen 3 und alle [mm] 3^n [/mm] usw. wieviel verschiedene Äquivalenzklassen gibts also. gib einfach unendlich viele Repräsentanten an.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:12 Mi 13.04.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo
> wie viele Äquivalenzklassen gibts also
unendlich viele!
> Gruss
Danke!
Gruss
kushkush
|
|
|
|
