[(x-z)^k]'=k(x-z)^k-1(k aus Z) < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:22 Mi 26.04.2006 | | Autor: | Sanshine |
| Aufgabe | Seien [mm] y\in \IC, k\in \IZ [/mm] mit [mm] k\not=0.
[/mm]
Beh: [mm] \bruch{d}{dx}[(x-y)^k]=k(x-y)^{k-1}
[/mm]
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Hallo... bin jetzt schon seit einiger Zeit bei dieser Aufgabe und habe allmählich Kopfschmerzen.
Wir haben den Hinweis bekommen, dass x-y für [mm] y\in \IC [/mm] nicht substituiert werden darf, muss also anders gehen. Habe eine Fallunterscheidung gemacht für k>0 bzw. k<0. Für [mm] k\in \IN [/mm] habe ich letztendlich das gewünschte herausbekommen, wenn auch nicht besonders elegant.
Aber bei k<0 haperts, wie ich es auch drehe und wende.
Also: Sei [mm] n\in \IN [/mm] mit k=-n. Dann gilt:
[mm] \bruch{d}{dx}[(x-y)^k]=\bruch{d}{dx}[(x-y)^{-n}]=\bruch{d}{dx}[\bruch{1}{(x-y)^n}
[/mm]
Das gibt dann ja eins durch ne wunderschöne Summe, die ich mit Quotientenregel ableite. Ich bekomme raus:
[mm] \bruch{-\summe_{k=0}^n\vektor{n \\ k}(n-k)y^kx^{n-k-1}}{(\summe_{k=0}^n\vektor{n \\ k}x^{n-k}y^k)^2}
[/mm]
Und wenn ich mir das auf der anderen Seite ausrechne ergibt das:
[mm] k(x-y)^{k-1}=\bruch{-n}{(x-y)^{n+1}}=\bruch{-n}{\summe_{k=0}^{n+1}\vektor{n+1 \\ k}x^{n+1-k}y^k}
[/mm]
Habe gerechnet wie blöde, sämtliche Regeln, die ich kenne benutzt (summen, binomialkoeffizienten) und hab doch nichts vernünftiges herausbekommen. Hab am Ende auch Induktion angedacht, aber nicht sehr weit. Kann auch sein, dass ich ein wenig übermüdet bin und ein Brett vor dem Kopf habe ... Vielleicht kann mir doch jemand einen Tipp geben? Wäre sehr dankbar,
Gruß
San
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:14 Mi 26.04.2006 | | Autor: | PottKaffee |
Hi erstmal,
es gilt doch folgendes - oder?
[mm] \bruch{d}{dz}\bruch{1}{g(z)}=-\bruch{g'(z)}{g^2(z)}
[/mm]
[mm] \bruch{d}{dx} \bruch{1}{\summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}x^{n-k}y^k}=-\bruch{\summe_{k=0}^{n} \vektor{n\\k}(n - k)x^{n-k-1}y^k}{(\summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}x^{n-k}y^k)^2} [/mm] = ...
Es gilt doch auch: Potenzen gleicher Basis werden dividiert, indem man ihre Exponenten subtrahiert - oder?
also könnte man doch für [mm] x^{n-k-1}=\bruch{x^{n-k}}{x} [/mm] schreiben und somit dann ... [mm] =-\bruch{1}{x}*\bruch{\summe_{k=0}^{n} \vektor{n\\k}x^{n-k}y^k(n - k)}{(\summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}x^{n-k}y^k)^2}
[/mm]
Vielleicht hilft ja noch die Idee, dass [mm] \vektor{n\\k}=\bruch{n!}{(n-k!)k!} [/mm] ist. Oder die, dass man die (n-k) ausmultipliziert.
Vielleicht habe ich ja noch eine Idee.
MfG
Oliver
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:41 Mi 26.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo San!
> Seien [mm]y\in \IC, k\in \IZ[/mm] mit [mm]k\not=0.[/mm]
> Beh: [mm]\bruch{d}{dx}[(x-y)^k]=k(x-y)^{k-1}[/mm]
>
> Hallo... bin jetzt schon seit einiger Zeit bei dieser
> Aufgabe und habe allmählich Kopfschmerzen.
> Wir haben den Hinweis bekommen, dass x-y für [mm]y\in \IC[/mm]
> nicht substituiert werden darf, muss also anders gehen.
Was genau meinst du damit? Das du die Kettenregel nicht verwenden darfst?
> Habe eine Fallunterscheidung gemacht für k>0 bzw. k<0. Für
> [mm]k\in \IN[/mm] habe ich letztendlich das gewünschte
> herausbekommen, wenn auch nicht besonders elegant.
Per Kettenregel gehts am einfachsten
Und falls ihr die nicht benutzen duerft: Schreibe $(x - [mm] y)^{k+1} [/mm] = (x - y) [mm] \cdot [/mm] (x - [mm] y)^k$, [/mm] benutze die Produktregel und verwende Induktion. Falls ihr die Produktregel benutzen duerft... :)
Falls ihr die auch nicht habt, verbleibt der ''dreckige'' Weg ueber Binomialkoeffizienten...
> Aber bei k<0 haperts, wie ich es auch drehe und wende.
> Also: Sei [mm]n\in \IN[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
mit k=-n. Dann gilt:
Wenn du den Trick von PottKaffee verwendest, also $\frac{d}{dt} \frac{1}{g(t)} = -\frac{\frac{d}{dt} g(t)}}{g(t)^2}$, kannst du das mit $g(t) = (x - y)^n$ auf den schon geloesten Fall $\frac{d}{dt} (x - y)^n$ mit $n > 0$ zurueckfuehren. Das setzt natuerlich voraus, das ihr die Quotientenregel schon hattet.
Falls ihr die nicht hattet, sondern nur die Produktregel, dann kannst du sie so herleiten: Es ist $\frac{1}{g(t)} \cdot g(t) = 1$, und Ableiten auf beiden Seiten und Anwenden der Produktregel liefert die Behauptung. Aber die scheint ihr ja schon gehabt zu haben...
LG Felix
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| Aufgabe | sei [mm] y\in \IC, k\in \IZ.
[/mm]
[mm] \bruch{d}{dx}[(x-y)^k]=k(x-y)^{k-1} [/mm] |
Hallo!
Vielen Dank erst einmal euch beiden, hat mir sehr viel weitergeholfen... auch wenn ich gestern nacht noch gesehen habe, dass man über die Bin.koeff eventuell doch irgendwie zum Ziel kommen könnte, denke ich ich mache das lieber eleganter ![[laugh]](/images/smileys/laugh.gif "[laugh]")
Klappt wunderbar:
Also:
Sei k=-n. Es gilt:
[mm] \bruch{d}{dx}[(x-y)^k]=\bruch{d}{dx}[\bruch{1}{(x-y)^n}]=\bruch{-\bruch{d}{dx}(x-y^n)}{(x-y)^2n}=\bruch{-n(x-y)^{n-1}}{(x-y)^n(x-y)^n}=\bruch{-n}{(x-y)(x-y)^n}=(-n)(x-y)^{-n-1}=k(x-y)^{k-1}
[/mm]
Fertig.
Allerdings,... hmmm... es wäre doch unlogisch, wenn ich die Produktregel nicht benutzen dürfte, die Quotientenregel aber doch? Da "substituiere" ich im Grunde auch?
Warum darf ich das hier eigentlich nicht für Complexe y? Hat da jemand ne Idee? GRuß, San
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Sa 29.04.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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