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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:35 Di 04.05.2010 | | Autor: | Igor1 |
| Aufgabe | Ist (X,S, [mm] \mu [/mm] ) ein Maßraum, so sei S' die Menge aller Teilmengen der Gestalt A=B [mm] \cup [/mm] N, wobei B [mm] \in [/mm] S und N eine [mm] \mu-Nullmenge [/mm] ist.
a) Zeigen Sie, dass S' eine [mm] \sigma [/mm] -Algebra auf X mit S [mm] \subseteq [/mm] S'.
b) Ist A [mm] \in [/mm] S', so existiert ein B [mm] \in [/mm] S und eine [mm] \mu-Nullmenge, [/mm] so dass
A= B [mm] \cup [/mm] N gilt. Wir definieren [mm] \mu [/mm] '(A) := [mm] \mu [/mm] (B).
Zeigen Siw , dass [mm] \mu' [/mm] : S' [mm] \to [/mm] [0, [mm] \infty] [/mm] wohldefiniert ist und ein Maß auf S'
ist mit [mm] \mu'(A) [/mm] = [mm] \mu [/mm] (A) für alle A [mm] \in [/mm] S.
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Hallo,
was muss für die Wohldefiniertheit hier gezeigt werden?
Ich weiß nicht, ob das benötigt wird, jedoch ich habe z.B: so angefangen:
[mm] \mu [/mm] (B) = [mm] \mu [/mm] (B) + [mm] \mu [/mm] (N) - [mm] \mu [/mm] (B [mm] \cap [/mm] N) = [mm] \mu [/mm] (B [mm] \cup [/mm] N)= [mm] \mu [/mm] (A).
Das habe ich deshalb so geschrieben, weil ich schauen wollte , was ist [mm] \mu [/mm] (B), wenn man das einbisschen anders hinschreibt. [mm] \mu [/mm] (B) ist also gleich [mm] \mu [/mm] (A). Aber was soll das mit [mm] \mu [/mm] ' zu tun haben?
Gruss
Igor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:44 Di 04.05.2010 | | Autor: | fred97 |
Für $A [mm] \in [/mm] S'$ gibt es $B [mm] \in [/mm] S$ und eine [mm] \mu [/mm] - Nullmenge N mit $A=B [mm] \cup [/mm] N$
[mm] \mu'(A) [/mm] ist dann def. durch [mm] \mu'(A)=\mu(B)
[/mm]
Diese Def. scheint noch von der speziellen Wahl von B und N abzuhängen ! "Wohldefiniert " bedeutet: gerade das ist nicht der Fall.
Zeige also: hat A eine weitere Darstellung der Form [mm] $A=B_1 \cup N_1$ [/mm] mit [mm] $B_1 \in [/mm] S$ und einer [mm] \mu [/mm] - Nullmenge [mm] N_1, [/mm] so gilt
[mm] \mu(B)=\mu(B_1)
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Di 04.05.2010 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
ich denke , dass ich es verstanden habe.
Wir prüfen also, ob zu einem festen A genau ein Element im Bildbereich von
[mm] \mu' [/mm] gibt. Da A eventuell auf mehrere Weisen dargestellt werden kann , z.B
A = B [mm] \cup [/mm] N oder [mm] A=B_{1} \cup N_{1}, [/mm] soll für jede solche Darstellung von A immer nur ein Wert von [mm] \mu' [/mm] herauskommen.
Danke !
Gruss
Igor
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:39 Di 04.05.2010 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
[mm] \mu [/mm] (B) = [mm] \mu [/mm] (A) ( siehe erstes posting)
Auch ist :
[mm] \mu (B_{1})= \mu [/mm] (A)
Also:
[mm] \mu [/mm] (B)= [mm] \mu [/mm] (A) = [mm] \mu (B_{1}) [/mm]
Reicht das im Großen und Ganzen aus?
Gruß
Igor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:47 Di 04.05.2010 | | Autor: | SEcki |
> Reicht das im Großen und Ganzen aus?
Überhaupt nicht! Die beiden Gleichungen sind per Definition - und das sie wirklich stimmen ist die Wohldef.! Du musst die Gleichheit direkt zeigen!
SEcki
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