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Hallo,
ich hab mal gleich noch eine andere Frage, bei der es darum geht, wie oft eine Funktion differenzierbar ist. Dazu zitiere ich mal aus meinen Lehrunterlagen:
>>Beispiel
Sei f : [mm] \IR \to \IR [/mm] durch f(x) := [mm] |x|^3 [/mm] gegeben. Dann ist f zweimal stetig differenzierbar, aber nicht dreimal differenzierbar (auf R). Es ist naemlich
f' = [mm] \IR \to \IR, [/mm] x [mm] \to [/mm] f'(x) = 3x|x| und f'' = [mm] \IR \to \R, [/mm] x [mm] \to [/mm] f''(x) = 6|x|. Da f'' im Punkt a = 0 nicht differenzierbar ist , existiert (f'')' nicht. Jedoch ist f in jedem Punkt a [mm] \in \IR [/mm] \ {0} beliebig oft differenzierbar.<<
Was ich gerade hieran nicht verstehe ist folgendes: f''' existiert nicht, weil f'' in a = 0 nicht differenzierbar ist.
Komischerweise existiert aber f'', obwohl f' in a = 0 auch nicht differenzierbar ist. Es existiert auch f', obwohl f in a = 0 auch nicht differenzierbar ist.
Korrigiert mich wenn ich mich irre, aber die mir vorliegende Definition von Differenzierbarkeit sagt:
>>f heisst differenzierbar in a, wenn a Haeufungspunkt von D ist und wenn
der Grenzwert
[mm] \limes_{n\rightarrow a} \bruch{f(x) - f(a)}{x - a}
[/mm]
existiert.<<
Der Grenzwert von [mm] |x|^3 [/mm] fuer a = 0 ist positiv wenn ich "von rechts komme" und negativ wenn ich "von links" komme. Dito fuer x|x|. Oder hab ich jetzt auch Differenzierbarkeit falsch verstanden?
Ich hoffe ihr koennt mir helfen.
Gruss und danke,
Martin
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:44 Mi 16.05.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Martin
> Hallo,
> ich hab mal gleich noch eine andere Frage, bei der es
> darum geht, wie oft eine Funktion differenzierbar ist. Dazu
> zitiere ich mal aus meinen Lehrunterlagen:
>
> >>Beispiel
> Sei f : [mm]\IR \to \IR[/mm] durch f(x) := [mm]|x|^3[/mm] gegeben. Dann ist
> f zweimal stetig differenzierbar, aber nicht dreimal
> differenzierbar (auf R). Es ist naemlich
> f' = [mm]\IR \to \IR,[/mm] x [mm]\to[/mm] f'(x) = 3x|x| und f'' = [mm]\IR \to \R,[/mm]
> x [mm]\to[/mm] f''(x) = 6|x|. Da f'' im Punkt a = 0 nicht
> differenzierbar ist , existiert (f'')' nicht. Jedoch ist f
> in jedem Punkt a [mm]\in \IR[/mm] \ {0} beliebig oft
> differenzierbar.<<
>
> Was ich gerade hieran nicht verstehe ist folgendes: f'''
> existiert nicht, weil f'' in a = 0 nicht differenzierbar
> ist.
>
> Komischerweise existiert aber f'', obwohl f' in a = 0 auch
> nicht differenzierbar ist. Es existiert auch f', obwohl f
> in a = 0 auch nicht differenzierbar ist.
>
> Korrigiert mich wenn ich mich irre, aber die mir
> vorliegende Definition von Differenzierbarkeit sagt:
>
> >>f heisst differenzierbar in a, wenn a Haeufungspunkt von
> D ist und wenn
> der Grenzwert
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow a} \bruch{f(x) - f(a)}{x - a}[/mm]
>
> existiert.<<
>
> Der Grenzwert von [mm]|x|^3[/mm] fuer a = 0 ist positiv wenn ich
> "von rechts komme" und negativ wenn ich "von links" komme.
> Dito fuer x|x|. Oder hab ich jetzt auch Differenzierbarkeit
> falsch verstanden?
Wenn deine Aussage richtig wäre, also links pos, rechts neg dann wär die fkt. in 0 nicht diffb.
ABER diese Aussage ist falsch! in beiden Fällen ist der GW=0
Gruss leduart.
(Das mit dem HP bei a hab ich so noch nie gehört.)
Gruss leduart
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Waerst du so nett und wuerdest mal bitte eine Gegenueberstellung machen; auf der einen Seite Differenzierung von 3x|x| in a=0 und auf der anderen Seite Differenzierung von 6|x| in a=0, damit ich sehe wo da der Unterschied liegt?
Danke,
Martin
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:59 Mi 16.05.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Martin
Eigentlich eher nö, weil das nur Schreibarbeit ist. Mach du vor, ich sag was falsch ist!
Wenn du dir die Fkt zeichnen lsst siehst du auch bei |x| die "Ecke" bei x*|x| die waagerechte Tangente.
Gruss leduart
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Ich glaub ich hab's grad von allein gerafft:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{x - a}{x - a} [/mm] = 1 aber [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{x^2 - a^2}{x - a} [/mm] = 0 weil [mm] (x^2 [/mm] - [mm] a^2) [/mm] mit x [mm] \to \infty [/mm] ja vieeeeeel groesser ist als (x - a); ist das der Grund?
Hmmm, soviel Tipperei ist das doch gar nicht ;) ... falls es stimmen sollte...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:23 Mi 16.05.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo martin
> Ich glaub ich hab's grad von allein gerafft:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{x - a}{x - a}[/mm] = 1 aber
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{x^2 - a^2}{x - a}[/mm] = 0
> weil [mm](x^2[/mm] - [mm]a^2)[/mm] mit x [mm]\to \infty[/mm] ja vieeeeeel groesser ist
> als (x - a); ist das der Grund? im Prinzip ja, aber das sollte man zeigen und es ist nicht viel grösser, sondern viel kleiner!
[mm] \bruch{x^2 - a^2}{x - a}=x+a[/mm] [/mm] und eigentlich willst dus bei 0 ausrechnen deshalb noch viel einfacher x, warum setzt du den kritischen pkt nicht ein? und binomische Formeln sollte man immer erkennen! (Klasse 8!)
Gruss leduart
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Hmm das ist mir jetzt ein bisschen peinlich, aber da steht doch [mm] (x^2 [/mm] - [mm] a^2) [/mm] und nicht (x - [mm] a)^2...binomische [/mm] Formel, wo? *rotwerd
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Ohoh - und zu Recht 
schnell pudern
[mm] x^2-a^2=(x-a)(x+a)
[/mm]
3. binom. Formel
LG
schachuzipus
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