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| Aufgabe | | Es sein f eine in [mm] D\backslash\{0\} [/mm] holomorphe Funktion, die in z=0 eine nichthebbare Singularität hat. Zeigen Sie, dass [mm] e^{f(z)} [/mm] in z=0 eine wesentliche Singularität hat. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
Mich interessiert v.a. der Fall, wenn f(z) eine Polstelle hat. Es gibt hier für eine Lösungsmöglichkeit, in dem man zwei Folgen [mm] z_n [/mm] und [mm] w_n [/mm] findet die gegen null laufen und jeweils einen unterschiedlichen Wert liefern. In diesem Fall einmal 0 und einmal [mm] \infty.
[/mm]
Meine Frage ist nun:
Es ist auch möglich dies über die Reihenentwicklung von e= [mm] \summe_{i=1}^{n} z^k/k! [/mm] zu zeigen. Man betrachtet dann die Funktion f(z):= [mm] 1/z^p [/mm] und setzt deren Reihe in die Exponentialfunktion ein.
Man hat hier wohl absolute Konvergenz und darf den Umornungssatz anwenden.
Mein Ziel ist es nun eine Laurententwicklung anzugeben, die unendlich viele nicht verschwindende neg. Indexe hat. Was unserer Definition einer wesentlichen Laurentreihe entspricht.
Diesen Beweis zu führen übersteigt leider meinen Horizont. Wenn ich diesen Beweis im detail erhalten könnte um ihn nachvollziehen zu können wäre mir sehr geholfen.
mfg Jeanluc2008
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:46 Mo 11.02.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Es sein f eine in [mm]D\backslash\{0\}[/mm] holomorphe Funktion, die
> in z=0 eine nichthebbare Singularität hat. Zeigen Sie, dass
> [mm]e^{f(z)}[/mm] in z=0 eine wesentliche Singularität hat.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Hallo!
> Mich interessiert v.a. der Fall, wenn f(z) eine Polstelle
> hat. Es gibt hier für eine Lösungsmöglichkeit, in dem man
> zwei Folgen [mm]z_n[/mm] und [mm]w_n[/mm] findet die gegen null laufen und
> jeweils einen unterschiedlichen Wert liefern. In diesem
> Fall einmal 0 und einmal [mm]\infty.[/mm]
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> Meine Frage ist nun:
> Es ist auch möglich dies über die Reihenentwicklung von e=
> [mm]\summe_{i=1}^{n} z^k/k![/mm] zu zeigen. Man betrachtet dann die
> Funktion f(z):= [mm]1/z^p[/mm] und setzt deren Reihe in die
> Exponentialfunktion ein.
>
> Man hat hier wohl absolute Konvergenz und darf den
> Umornungssatz anwenden.
>
> Mein Ziel ist es nun eine Laurententwicklung anzugeben, die
> unendlich viele nicht verschwindende neg. Indexe hat. Was
> unserer Definition einer wesentlichen Laurentreihe
> entspricht.
> Diesen Beweis zu führen übersteigt leider meinen Horizont.
> Wenn ich diesen Beweis im detail erhalten könnte um ihn
> nachvollziehen zu können wäre mir sehr geholfen.
Für die Funktion [mm] $f(z):=\bruch{1}{z^p}$, $p\in\IN$ [/mm] brauchst du dafür noch nicht mal den Umordnungssatz:
[mm] $\mathrm{e}^{f(z)} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^\infty \bruch{f(z)^k}{k!} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^\infty \bruch{(z^{-p})^k}{k!} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^\infty \bruch{z^{-pk}}{k!} [/mm] $
Fertig: unendliche viele Terme mit negativen Exponenten.
Viele Grüße
Rainer
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