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> Rechnen Sie den Wert der Reihe aus.
> [mm]\summe_{k=1}^{3} \bruch{3^{2k-2}*5^{-k+1}}{2^{k-2}}[/mm]
> hallo
> an alle
>
> also ich komm hier nicht so weit!
>
> überlegungen: ich habe mir gedacht ich könnte vielleicht
> [mm]3^{2k-2}[/mm] und [mm]5^{-k+1}[/mm] und [mm]2^{k-2}[/mm] zerlegen, damit meine ich
> z.b. bei [mm]3^{2k-2}[/mm] = [mm]3^{2k}* 3^{-2}...[/mm] (ich weiß aber nicht
> ob man das so mit dem k machen kann. vielleicht wär es so
> besser: [mm]3^{2k-2}[/mm] = [mm]3^{2}* 3^{k-2},[/mm] aber würd das dann nicht
> [mm]3^{2k-4}[/mm] ergeben?, hab deshalb die andre variante genommen
> )
>
> ich hab das aufjedenfall das so gemacht, weil ich dachte,
> ich könnte vielleicht danach die geometrische reihe mit
> [mm]\bruch{1}{1-q}[/mm] anwenden, hat aber nicht geklappt...
Hallo,
naja, da Du die Reihe nur für drei Summanden ausrechnen sollst, kann man das ja fast im Kopf erledigen.
Aber nehmen wir mal an, das ginge weiter als bis 3.
Dann liegst Du mit der geometrischen Reihe goldrichtig - schade, daß Du in der Mittelstufe nicht richtig aufgepaßt hast...
Wiederhole die  Potenzgesetze, damit Du mit solchen Unsicherheiten in Zukunft keine Zeit mehr verplemperst.
Du hast allerdings, wenn Du nicht bis [mm] \infty [/mm] summierst, sondern endlich, eine endliche geometrische Reihe, bzgl der Formel mach Dich nochmal schlau in Deinen Unterlegen.
So, jetzt wird gezaubert:
[mm] \bruch{3^{2k-2}*5^{-k+1}}{2^{k-2}}= \bruch{3^{2k}*3^{-2}*5^{-k}*5^1}{2^{k}*2^{-2}}= \bruch{3^{-2}*5}{ 2^{-2}} [/mm] * [mm] \bruch{3^{2k}*5^{-k}}{2^{k}}= \bruch{3^{-2}*5}{ 2^{-2}} [/mm] * [mm] \bruch{(3^{2})^k*5^{-k}}{2^{k}} [/mm] = [mm] \bruch{3^{-2}*5}{ 2^{-2}} [/mm] * [mm] (...)^k.
[/mm]
ich hoffe, daß Du jetzt richtig auf die Spur gesetzt wurdest.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:26 Sa 10.01.2009 | | Autor: | barsch |
Hi,
> also, ich habe einen kleinen tippfehler gehabt, sorry, und
> zwar:
> [mm]\summe_{k=3}^{\infty}...[/mm]
> ändert das nun sehr viel an dem lösungsweg?
da hat sich in der Tat schon etwas geändert. Du hast nun eine unendliche Reihe; die auch erst bei k=3 beginnt.
> denn ich habe
> das nun weiter ausgerechnet und komme auf:
>
>
> [mm]\summe_{k=3}^{\infty}[/mm] 2 [mm]\bruch{2}{9}[/mm] * [
> [mm]\bruch{1}{1-\bruch{9}{2}}[/mm] ] * [mm]\bruch{5^{-k}}{2^{k}}[/mm] = [mm]\summe_{k=3}^{\infty}[/mm] 2 [mm]\bruch{2}{9}[/mm] * [ -3,5 ]*[mm]\bruch{5^{-k}}{2^{k}}[/mm]
Nein, dass haut wohl nicht hin!
Machen wir doch einmal da weiter, wo angela aufgehört hat
> $ [mm] \bruch{3^{2k-2}\cdot{}5^{-k+1}}{2^{k-2}}= \bruch{3^{2k}\cdot{}3^{-2}\cdot{}5^{-k}\cdot{}5^1}{2^{k}\cdot{}2^{-2}}= \bruch{3^{-2}\cdot{}5}{ 2^{-2}} [/mm] $ * $ [mm] \bruch{3^{2k}\cdot{}5^{-k}}{2^{k}}= \bruch{3^{-2}\cdot{}5}{ 2^{-2}} [/mm] $ * $ [mm] \bruch{(3^{2})^k\cdot{}5^{-k}}{2^{k}} [/mm] $ =
[mm] =\bruch{3^{-2}\cdot{}5}{ 2^{-2}}*(\bruch{9^k*\red{5^{-k}}}{2^k})=\bruch{3^{-2}\cdot{}5}{ 2^{-2}}*(\bruch{9^k}{2^k*\red{5^k}})=\bruch{3^{-2}\cdot{}5}{ 2^{-2}}*(\bruch{9^k}{(2*5)^k})=\bruch{3^{-2}\cdot{}5}{ 2^{-2}}*(\bruch{9}{10})^k
[/mm]
Also:
[mm] \summe_{k=3}^{\infty}\bruch{3^{2k-2}\cdot{}5^{-k+1}}{2^{k-2}}= \summe_{k=3}^{\infty} \bruch{3^{-2}\cdot{}5}{ 2^{-2}}*(\bruch{9}{10})^k=\bruch{3^{-2}\cdot{}5}{ 2^{-2}}*\summe_{k=3}^{\infty} (\bruch{9}{10})^k
[/mm]
Nun kannst du deine Idee mit der geometrischen Reihe einbeziehen. Doch denke dran:
Die geometrische Reihe beginnt bei [mm] \red{k=0} [/mm] und nicht bei k=3. Du musst also noch eine Indexverschiebung vornehmen.
MfG barsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:46 Sa 10.01.2009 | | Autor: | howtoadd |
oh gott ja :-/// *schäm* da hab ich gewaltig was übersehen!
danke!
lieben gruß
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