welchen Ansatz für DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:16 So 15.06.2008 | | Autor: | chrisi99 |
| Aufgabe | | [mm] x^2 [/mm] y" -4xy' [mm] +4y=x^2 [/mm] |
Mahlzeit an alle!
Welchen Ansatz verwende ich hier am besten um diese DGL zu lösen. Da ich auf der linken Seite keine konstanten Koeff. habe funktioniert ja der exp. Ansatz nicht...
lg
Chris
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Hallo,
> [mm]x^2[/mm] y" -4xy' [mm]+4y=x^2[/mm]
> Mahlzeit an alle!
>
> Welchen Ansatz verwende ich hier am besten um diese DGL zu
> lösen. Da ich auf der linken Seite keine konstanten Koeff.
> habe funktioniert ja der exp. Ansatz nicht...
>
> lg
> Chris
Das ist eine Eulersche Differentialgleichung. Siehe
![[]](/images/popup.gif) http://matheplanet.com/default3.html?article=525
Da nimmst Du die Substitution
[mm] $x=e^t$
[/mm]
[mm] $y(e^t)=u(t)$
[/mm]
[mm] $\bruch{du}{dt} =y'(e^t)*e^t=y'(x)*x$ [/mm] also [mm] $y'(x)*x=\bruch{du}{dt}$
[/mm]
[mm] $\bruch{d^2u}{dt^2} =y''(e^t)*e^t*e^t+y'(e^t)*e^t=y''(x)*x^2+\bruch{du}{dt}$ [/mm] also [mm] $y''(x)*x^2=\bruch{d^2u}{dt^2}-\bruch{du}{dt}$
[/mm]
....
Ergebnis: [mm] $y=C_1x+C_2x^4-\bruch{1}{2}x^2$
[/mm]
LG, Martinius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:14 So 15.06.2008 | | Autor: | chrisi99 |
danke für deine Schnelle Antwort! :)
also die homogene bekomme ich auch so hin:
u" - [mm] 5u'+4u=e^t
[/mm]
das charakt. Polynom für u ist dann
[mm] \lambda^2-5 \lambda [/mm] +4=0 und das hat die Nullstellen 4 und 1
damit erhalte ich für mein u(t) die Darstellung [mm] u_{h}=C_1 e^{4t}+C_2 e^{t} [/mm] Rücktransformiert mit [mm] x=e^t [/mm] ergibt das
[mm] y_{h}=C_1 x^4+C_2 [/mm] x
wie setze ich jetzt die homogene Lsg an?
da rechts eine Exponentialfunktion ist setzt man die Part. Lsgja auch als Exp an, oder?
eingesetzt für [mm] u"-5u'+4u=e^{2t} [/mm] bekommt man dann aber [mm] 0=e^{2t}... [/mm] oder habe ich hier den Fall der Resonanz (da [mm] e^t [/mm] ja eine Lösung der homogenen DGL ist)?
dann muss ich doch [mm] u(t)=A.t.e^t [/mm] ansetzen, dh
[mm] u'=(1+t)e^t.A
[/mm]
[mm] u"=(2+t)e^t.A
[/mm]
daraus folgt dann [mm] -3.A.e^t=e^{2t}
[/mm]
und [mm] A=-\bruch{e^t}{3}
[/mm]
aber daraus komme ich nicht auf deine part. Lösung...
lg
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Hallo chrisi99,
> danke für deine Schnelle Antwort! :)
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> also die homogene bekomme ich auch so hin:
>
>
> u" - [mm]5u'+4u=e^t[/mm]
>
> das charakt. Polynom für u ist dann
>
> [mm]\lambda^2-5 \lambda[/mm] +4=0 und das hat die Nullstellen 4 und
> 1
>
> damit erhalte ich für mein u(t) die Darstellung [mm]u_{h}=C_1 e^{4t}+C_2 e^{t}[/mm]
> Rücktransformiert mit [mm]x=e^t[/mm] ergibt das
>
> [mm]y_{h}=C_1 x^4+C_2[/mm] x
>
> wie setze ich jetzt die homogene Lsg an?
>
> da rechts eine Exponentialfunktion ist setzt man die Part.
> Lsgja auch als Exp an, oder?
>
> eingesetzt für [mm]u"-5u'+4u=e^{2t}[/mm] bekommt man dann aber
> [mm]0=e^{2t}...[/mm] oder habe ich hier den Fall der Resonanz (da
> [mm]e^t[/mm] ja eine Lösung der homogenen DGL ist)?
>
>
> dann muss ich doch [mm]u(t)=A.t.e^t[/mm] ansetzen, dh
>
> [mm]u'=(1+t)e^t.A[/mm]
> [mm]u"=(2+t)e^t.A[/mm]
>
> daraus folgt dann [mm]-3.A.e^t=e^{2t}[/mm]
Richtig muss es heissen: [mm]-3*A*e^t=e^{t}[/mm]
> und [mm]A=-\bruch{e^t}{3}[/mm]
Dann folgt nämlich [mm]A=-\bruch{1}{3}[/mm]
>
> aber daraus komme ich nicht auf deine part. Lösung...
> lg
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:43 So 15.06.2008 | | Autor: | Martinius |
Hallo,
ich habe die partielle Lsg. so gerechnet:
[mm] $\ddot [/mm] u [mm] -5*\dot [/mm] u [mm] +4*u=e^{2t}$
[/mm]
Da 2 keine Lösung der charakeristischen Gleichung ist, lautet der Lösungsansatz:
[mm] $u_p=A*e^{2t}$
[/mm]
[mm] $\dot u_p=2*A*e^{2t}$
[/mm]
[mm] $\ddot u_p=4*A*e^{2t}$
[/mm]
Eingesetzt in die DGL:
[mm] $4*A*e^{2t}-10*A*e^{2t}+4*A*e^{2t}=e^{2t}$
[/mm]
[mm] $A=-\bruch{1}{2}$
[/mm]
Also [mm] $u_p=-\bruch{1}{2}e^{2t}$ [/mm] und [mm] $y_p=-\bruch{1}{2}x^2$
[/mm]
[mm] $y=y_h+y_p=C_1*x+C_2*x^4-\bruch{1}{2}x^2$
[/mm]
Beim Nachrechnen hat es auch gestimmt - so ich mich nicht verrechnet habe.
LG, Martinius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:20 So 15.06.2008 | | Autor: | chrisi99 |
hm jetzt kenne ich mich nicht mehr aus... aber der andere Ansatz ist einleuchtend....
Lg und Danke an alle!
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Hallo,
ich setze einmal ein:
[mm] $y=C_1*x+C_2*x^4-\bruch{1}{2}*x^2$
[/mm]
[mm] $y'=C_1+4*C_2*x^3-x$
[/mm]
[mm] $y''=12*C_2*x^2-1$
[/mm]
[mm] $x^2*y''-4*x*y'+4*y=x^2$
[/mm]
[mm] $12*C_2*x^4-x^2-4*C_1*x-16*C_2*x^4+4*x^2+4*C_1*x+4*C_2*x^4-2*x^2=x^2$
[/mm]
[mm] $(12*C_2-16*C_2+4*C_2)*x^4+(-1+4-2)*x^2+(-4*C_1+4*C_1)*x=x^2$
[/mm]
LG, Martinius
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