(weg)zusammenhang R^n < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:36 Sa 29.10.2011 | | Autor: | tonno |
| Aufgabe | | Zu zeigen: G := [mm] \IR^n \backslash [/mm] {(0,...,0)} für n [mm] \ge [/mm] 3 einfach zusammenhängend. |
Die Behauptung leuchtet sicher ein, aber was wäre ein kurzer Weg für den analytischen Beweis? Mir fehlt einfach die Idee für den Beweis.
Das einzige was mir gerade so vorschwebt wäre: Beweis per Widerspruch, also eine (beliebige) geschlossene Kurve vorauszusetzen, die den Nullpunkt umschließt, und anzunehmen, dass sie sich nur auf diesen zusammenziehen lässt. Aber das erscheint mir bei weitem zu schwammig.
Ich hoffe mal einer erbarmt sich und schubst mich vom Schlauch runter ;)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:07 Sa 29.10.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Zu zeigen: G := [mm]\IR^n \backslash[/mm] {(0,...,0)} für n [mm]\ge[/mm] 3
> einfach zusammenhängend.
>
> Die Behauptung leuchtet sicher ein, aber was wäre ein
> kurzer Weg für den analytischen Beweis? Mir fehlt einfach
> die Idee für den Beweis.
> Das einzige was mir gerade so vorschwebt wäre: Beweis per
> Widerspruch, also eine (beliebige) geschlossene Kurve
> vorauszusetzen, die den Nullpunkt umschließt, und
> anzunehmen, dass sie sich nur auf diesen zusammenziehen
> lässt. Aber das erscheint mir bei weitem zu schwammig.
> Ich hoffe mal einer erbarmt sich und schubst mich vom
> Schlauch runter ;)
Wir hatten das Thema schonmal hier diskutiert. Der Ansatz in diesem Post fuehrt zum Ziel.
Die Grundidee (in zwei Schritten ist):
a) zeige, dass jede stetige Kurve [mm] $\alpha [/mm] : [0, 1] [mm] \to [/mm] U$ in einer offenen Menge $U [mm] \subseteq \IR^n$ [/mm] in $U$ zu einem Polygonzug von [mm] $\alpha(0)$ [/mm] nach [mm] $\alpha(1)$ [/mm] homotop ist;
b) zeige, dass jeder geschlossene Polygonzug in [mm] $\IR^n \setminus \{ 0 \}$ [/mm] kontrahierbar ist.
Bei b) bietet es sich an, das erstmal fuer eine kleinere Menge als [mm] $\IR^n \setminus \{ 0 \}$ [/mm] zu zeigen (wo man die Aussage mit Hilfe einer Verschiebung und Skaleriung erhalten kann) und dann zu zeigen, dass jeder Polygonzug in [mm] $\IR^n \setminus \{ 0 \}$ [/mm] in einer solchen Menge enthalten ist. Wenn du eine Idee brauchst, wie diese Menge aussehen soll, guck in den Link. Wenn du lieber selber drueber nachdenken willst, dann warte mit dem Link 
LG Felix
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