was genau geben EVs an < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
was genau sagt mir ein Eigenwert, Eigenvektor oder auch der Eigenraum über eine Matrix?
Wenn man z.B drei gleiche Eigenwerte bekommt, dann hab ich auch nur einen Eigenvektor und damit einen eindemensionalen Eigenraum.
Was ich jetzt aber mit der Information anfangen soll, weiss ich nicht.
Vielleicht weiss hier ja jemand mehr als ich.
Viele grüße
Philipp
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:47 Mi 06.02.2008 | | Autor: | Kroni |
> Hallo,
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Hi,
> was genau sagt mir ein Eigenwert, Eigenvektor oder auch der
> Eigenraum über eine Matrix?
Nun, ein Eigenvektor ist ein Vektor, der bei einer linearen Abbildung seine Richtung nicht ändert, nur seine Länge. Stell dir eine Abbildung im [mm] \IR^3 [/mm] vor, die einen Vektor auf irgendeinen anderen Vektor abbildet. Wenn jetzt ein Vektor v so abgebildet wird, dass er in die selbe Richtung zeigt, aber dann um den Faktor c gestreckt wird, dann heißt v ein Eigenvektor zum Eigenwert c. Mathematisch: Sei A die Abbildungsmatrix. Genau dann, wenn [mm] Av=\lambda [/mm] v gilt, ist v ein Eigenvektor zum Eigenwert [mm] \lambda
[/mm]
Das ganze ist nützlich, um Matirzen zu Diagonalisieren. Wenn du in eine Matrix S die Basisvektoren deines Eigenraumes steckst, und S ist invertierbar, dann Bekommst du [mm] D:=S^{-1}AS [/mm] bei D eine Diagonalmatrix.
> Wenn man z.B drei gleiche Eigenwerte bekommt, dann hab ich
> auch nur einen Eigenvektor und damit einen eindemensionalen
> Eigenraum.
Es kann passieren. Muss aber nicht. Wenn dein Eigenwert die algebraische Vielfachheit von sagen wir 3 hat, dann kann die geometrische Vielfachheit ebenfalls drei sein. Wenn für alle Eigenwerte gilt, dass die algebraische Vielfachheit gleich der geom. Vielfachheit ist, dann ist die Matrix A diagonalisierbar.
Aber wie du sagtest, kann es passieren, dass die algebraische Vielfachheit größer ist als die geom. Vielfachheit, und dann hast du ein Problem, denn dann kannst du nicht ohne weiteres Diagonalisieren.
> Was ich jetzt aber mit der Information anfangen soll,
> weiss ich nicht.
> Vielleicht weiss hier ja jemand mehr als ich.
Nun, wenn algebraische Vielfachheit größer als die geom. Vielfachheit ist, dann kannst du immer noch Trigonalisieren, d.h. eine obere Dreiekcsmatrix aus A machen, und du kannst dann hinterherh noch die Matrix in Jordan-Normalform schreiben. Du kannst aber auch verallgemeinerte Eigenräume betrachten, und dann eine Matrix erzeugen, die auf der Diagonale nur Blockmatrizen hat und drüber und drunter Nullen.
D.h. du brauchst die Eigenwert und Eigenraumtheorie (zumindest in LinA I) nur um Abbildungsmatrizen zu diagonalisieren, und damit besonders schön hinzuschreiben. Denn wo viele Nullen sind, kann man Abbildungen besonders einfach berechnen. Das braucht man dann z.B. auch hinterher in der theoretischen Physik, falls du sowas mal machen willst.
Ich hoffe, ich konnte dir wenigstens ein bisschen helfen.
Liebe Grüße,
Kroni
> Viele grüße
> Philipp
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Hi Kroni,
deine Frage hat mir sehr weitergeholfen, jetzt weiss ich schon mal, dass ich die EVs zur Bestimmung von Wurzeln brauche.
Da muss ich ja die Matrix diagonalisieren um die Wurzel ziehen zu können.
Was ich aber noch nicht verstehe ist folgendes:
[mm] 1.P^T*A*P [/mm] wie verändert sich hier die Matrix?
Wird sie nur gestreckt?
2.Wenn ich eine Symetrische Matrix habe, wie diagonalisier ich diese dann?
Viele Grüße
Philip
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> [mm]1.P^T*A*P[/mm] wie verändert sich hier die Matrix?
> Wird sie nur gestreckt?
Hallo,
den Ausdruck "gestreckte Matrix" habe ich noch nie gehört.
Das da oben sieht mir eher aus, als hätte es etwas mit der orthogonalen Diagonalisierung zu tun, und wenn dem so ist, ist das Ergebnis eine Diagonalmatrix.
> 2.Wenn ich eine Symetrische Matrix habe, wie diagonalisier
> ich diese dann?
Wie jede andere Matrix auch.
Symmetrische Matrizen haben allerdings die Eigenschaft, daß an ihrer Diagonalisierbarkeit gar kein Zweifel besteht, Du kannst also jede symmetrische Matrix diagonalisieren.
Und es geht sogar noch weiter: Du kannst jede symmetrische Matrix orthogonal diagonalisieren.
Die Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind bei symmetrischen Matrizen sowieso orthogonal, und den Rest kannst Du mit Gram-Schmidt (gelegentlich auch durch Draufgucken) orthogonalisieren.
Ich habe allerdings aufgrund Deiner Fragen den fürchterlichen Verdacht, daß das ganze Eigenwertthema noch ein weißer Fleck auf Deiner Landkarte ist, und ich rate Dir dringend, Dir die Basics anzueignen.
Gruß v. Angela
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