warum bei fallender Steig. 180 < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:18 Mi 14.03.2012 | | Autor: | Giraffe |
| Aufgabe | Exakt wiedergegebene Aufgabenstellung, inklusive aller Teilaufgaben:
[Dateianhang nicht öffentlich]
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") [Bild Nr. (fehlt/gelöscht)] |
Hallo,
ich kapiere nicht, warum nur bei der fallenden Steig, also da, wo ein neg. Winkel rauskam, was hat da plötzlich 180° zu tun?
Ich bin bei einer Einführung in die Differential-Rechng. u. nicht Trigonometrie?
Ich hoffe das lässt sich leicht u. schnell klären. Es gibt ja so so so so viel zu wissen in Mathe.
Ich gucke heute abend nochmal.
DANKE schön!!!
Gruß
Sabine
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:40 Mi 14.03.2012 | | Autor: | chrisno |
Ich verstehe nichts. Wo sind die 180°? Warum soll da -1,99° herauskommen? Ich erhalte -63°.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:40 Mi 14.03.2012 | | Autor: | Giraffe |
es fehlte Foto das zweite
Aber das wäre ja auch schon wieder was, wenn im Buch wieder etwas Falsches steht.
[Bild Nr. 2 (fehlt/gelöscht)]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:34 Mi 14.03.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
die -63,..° sind doch richtig, dann ist der Winkel nach oben 180°-63,..°, d.h. wenn du von der x-Achse von rechts zu deiner tangente gehst. Der Tan ist doch periodisch mit 180° der TR gibt immer die Winkel zwischen-90° und +90° an, wenn du den positiven Winkel willst musst du eben 180° addieren.
zeichne mal die tan funktion auf, dann wird das klarer.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:48 Mi 14.03.2012 | | Autor: | Giraffe |
Hallo leduart,
Ich habe 3 schöne Tangens-Kurven gezeichnet u. festgestellt, dass bestimmte Winkelbereiche neg. Steigungen zeigen, nämlich alle Kurven unterhalb der x-Achse.
Wie gebe ich das jetzt richtig u. korrekt an?
Wenn ich schreibe alle neg. Winkel von -90° bis 0 und 90° bis 180° usw., dann gefällt mir das nicht. Müsste es nicht heißen:
Für Winkel kleiner als 0° bis -89,9Periode u. für Winkel größer als 90° (aber eben nicht 90°) . wie schreibe ich 90,00000000000000000001
(90,00000000000000000001 ist ja auch nur ein Bsp.)
das richtig u. korrekt?
Die Aufg. war:
Welchen Steig.-Winkel hat die Fkt. [mm] y=x^2 [/mm] bei x=-1
Mit dem Limes komme ich auf -2.
Der Grenzwert an der Stelle x=-1 hat also die Steig. -2.
Der Differenzen-Quot. gibt ja nur den Durchschnitt 2er Punkte an. Und es ist tückisch zu glauben, dass der Differential-Quot., die Steig. in einem Punkt angibt. Es gibt doch gar nicht einen Punkt, sonst wäre delta x doch Null, d.h. es gäbe dann kein Steigungsdreieck.
Frage 2
Dann ist das Ergebnis -2 also nicht die exakte Steig. an der Stelle x=-1?
Aufg. war die Frage nach der Winkelgröße bei x=-1
Als Steig. habe ich jetzt -2 raus. Wie kriege ich das jetzt in Grad?
INV tan -2 = - 63,4°
Wenn der Wnkel negativ ist weiß ich, dass die Steig. fallend ist.
Gut, fertig aus.
Warum geht es jetzt noch weiter? 180°-63,4°=116,5°
Doch nicht nur um -63,5° positiv zu bekommen? Da muss doch mehr dahinter stecken! Was soll das?
Wenn mein Ergebnis 10 ist, dann muss ich das doch auch nicht umwandeln in 20-10.
Für die Beantwortg. vielen vielen DANK
u. ein wunderschönes Wochenende mit ganz viel schönem Wetter.
Sabine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:30 So 18.03.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo Giraffe,
wie Du beim Aufzeichnen der Tangens-Kurven gesehen hast, ist dieser im Bereich zwischen -Pi und Pi mehrdeutig und insofern muss man bei der Arcustangens-Berechnung etwas aufpassen. Gerade später bei der Winkelberechnung komplexer Zahlen kann man sonst reinfallen.
Jetzt aber zu Deiner Rechnung. Für Deine Parabel hast Du eine Ableitung berechnet und diese Ableitung ist negativ. Mit wachsendem x-Wert verringert sich also der y-Wert in der Umgebung um Deinem Punkt bei x = -1 und das ist auch richtig so. Die Steigung der Tangente in diesem Punkt führt zu einem negativen Winkel, das ist der Winkel der, nach unten gemessen, mit der Horizontalen, die durch diesen Punkt eingeschlossen wird. Der Steigungswinkel ist jedoch der Winkel, der von der Horizontalen gemessen, gegen den Uhrzeigersinn aufgetragen wird. Der gesuchte Winkel ist demzufolge der Ergänzungswinkel zu 180 Grad. So kommt Dein Ergebnis zustande.
Ich habe in einem kleinen Bild dies mal verdeutlicht.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Viele Grüße,
Infinit
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:32 So 18.03.2012 | | Autor: | Giraffe |
Hallo Infinit,
erstmal vielen DANK für deine Antw.
Doch leider habe ich dazu eine Nachfrage.
Ableitg. von [mm] y=x^2 [/mm] ist y´=-2x
Gefragt war nach der Steig. in Grad des Graphen bei x=-1
Du schreibst:
> Die Steigung der Tangente in diesem Punkt
> führt zu einem negativen Winkel, das ist der Winkel der,
> nach unten gemessen, mit der Horizontalen, die durch diesen
> Punkt eingeschlossen wird.
Die Steig. der Tangente, die durch diesen Pkt. geht ist doch überall an der Tangente gleich, egal wo gemessen wird. Du sagst "nach unten gemessen mit der Horizontalen", aber das geht doch auch noch oben gemessen bis zur Horizontalen. Es scheint mir wie in der Trigonometrie bei einer Rampe zu sein, wo ein Neigungswinkel in der Textaufg. genannt wird. Diesen Neigungswinkel kann ich unten, vom Boden aus nach oben oder von einer waagerechten Luftlinie aus, nach unten mir vorstellen, beides ist richtig. Mir scheint es hier dasselbe zu sein.
Ich hoffe wir meinen beide dasselbe.
Habe ich dich richtig verstanden, dass es dir in DEM Satz nur darum ging zu sagen,
Steig. der Tangente führt zu einem neg. Winkel oder
Steig. der Tangente hat einen neg. Winkel
Und im zweiten Satz: Ein Steigungswinkel aber wird woanders gemessen.
> Der Steigungswinkel ist jedoch der Winkel, der von
> der Horizontalen gemessen, gegen den Uhrzeigersinn
> aufgetragen wird. Der gesuchte Winkel ist demzufolge
> der Ergänzungswinkel zu 180 Grad. So kommt Dein
> Ergebnis zustande.
Ich fasse nochmal zus.
erster Satz
Steig. der Tangente hat einen neg. Winkel
zweiter Satz:
Ein Steigungswinkel aber wird woanders gemessen.
Entweder bin ich blöd oder das ist nicht so einfach zu verstehen.
Ich vermute gerade, dass es so ist wie es ist, u. ähnlich, wie wenn Kinder fragen:"Warum?" Frage wird beantw. u. das Kind erwidert trotzdem: "Warum" u. kriegt wieder eine Antw. u. es wiederholt sich noch ein paar mal. Irgendwann lautet die Antw. aber: "Weil es so ist" oder "Das ist einfach so" oder "Es ist wie es ist."
Ist es hier bei meiner Frage vielleicht genauso? Oder ich habe da irgendwas überhaupt nicht kapiert.
LG
Sabine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:07 So 18.03.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
1, Steigung einer kurve in einem Punkt:
erstmal hat man die Steigung einer Geraden definiert durch das Steugungsdreieck.Wenn man nun ein Kurve hat, die "krumm" ist, ist klar, dass die Steigung nicht an allen Stellen gleich ist. Wenn due auf einen "Parabelberg" steigst etwa von 0 au auf den Berg mit dem Profil [mm] -x^2+100 [/mm] du fängst an bei y=0 x=-10
dann ist es erst steil und wird immer flacher, je weiter du nach oben kommst. da du immer ganze Schritte gehst, kannst du immer mit der durchschnittlichen Steigung rechnen,
Wenn du dich immer kleiner machst werden deine Schritte immer kleiner, die steigung ändert sich immer noch mit jedem Schritt. jetzt ist es doch vernünftig, die Steigung in einem Punkt zu DEFINIEREN als den GW für beliebig kleine schritte, falls es den GW gibt. Damit ist die Steigung einer Kurve definiert, und damit exakt. In der Natur messen kannst du natürlich nur mit endlichen Schritten, aber die Mathematik definiert exakte Größen, eine Linie bzw Gerade hat in der m. keine Ausdehnung quer zur Geraden, ein Strich den du ziehst natürlich doch, 2 Geraden treffen sich in einem Punkt, 2 bleistiftlinien (unter dem Mikroskop angesehen) in sehr vielen! Du musst also zwischen der abstrakten Definition und dem täglichen leben unterscheiden.
jede Gerade durch den Punkt (-1,1) die eine andere steigung als exakt -2 hat schneidet die parabel in 2 Punkten, auch wenn du in einer zeichnung nicht die Steigung -2 von -1,999 oder -2,001 unterscheiden kannst.
jetz noch mal zum Winkel einer Geraden zur x-Achse:
in der mathematik misst man- so festgelegt- winkel positiv gegen den Uhrzeigersinn. mit dem Uhrzeigersinn sind sie dann negativ.
Wenn du jetzt von der pos Richtung der x- Achst zu deiner Geraden mit Stg. -2 gehst hast du einen positiven Winkel von mehr als 90° oder einen negativen von weniger als 90°
beide Angaben beschreiben den Winkel zur x- Achse richtig.
die üblichen TR geben aber bei der Umkehrfkt von tan nur Winkel von -90° bis +90° an, wenn der T also -45° anzeigt (etwa für die Steigung -1) dann kannst du den Winkel 45° nach unten gegen den Uhrzeigersinn , oder den Winkel 180°-45° =135° im Uhrzeigersinn angeben.
Also nochmal die beiden Angaben winkel zur x-Achse =135° oder Winkel zur x-Achse =-45° sind beide richtig.
(allerdings wollen einige lehrer oder Schulbücher, dass man immer den positiven Winkel angibt, da musst du dich nach deiner Schule richten)
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:02 So 18.03.2012 | | Autor: | Giraffe |
Hi, leduart,
ich freue mich immer über Hilfe. DANKE!
Ahhhh, gut, dass einfach beides geht u. beides auch richtig ist, je nachdem was gewünscht oder bevorzugt wird.
D.h. mein anfängliches Ergebnis -63,4° hätte ich auch so stehen lassen können.
Im Buch hätte dann besser stehen müssen: Diese -63,4° kann man nun noch als pos. Winkel ausdrücken, nämlich 180-63,5=119°
Stattdessen haben sie es einfach kommentarlos gemacht:
Steig.winkel -63,4°, 180-63,4=
Und wegen
Differenzen-Quot. = mittlere Steig. zwisch. 2 Punkten
Differential-Quot. = Steig. in einem Pkt. (kein Näherungswert, sond. exakt)
Du sagst, glaube ich auch sogar, warum. Aber das muss ich mir nochmal durchlesen. Aber vielleicht habe ich das auch verstanden - aber vorstellen ist noch schwierig.
Irgendwie ist da ein Widerspruch noch für mich: Zwischen exakt u. immer wieder mit einer mikroskopischen Lupe immer wieder reingehen u. das Mini-Steigungsdreieck vergrößern. Ich verstehe schon, dass es zahlenmäßig keinen Unterschied mehr macht, weil man schon 1000x immer wieder vergrößert hat.
Aber trotzdem sind diese beiden Zahlen NICHT gleich
2*10^(-999)
2*10°(-1000)
Ich habe deine Antw. jetzt nur ein einziges mal gelesen, aber das, was du dazu sagst ist wohl das mit der Theorie u. Praxis.
Und Ihr betont alle immer: "falls der Grenzwert existiert". Ist damit gemeint, wenn eine Fkt. unstetig ist u. man zufällig genau an so einer Lücke oder einem Sprung die Steig. haben will, dass dann KEIN GW existiert oder gibt es etwa noch "andere Umstände" wo es kein GW gibt?
LG
Sabine
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