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| Aufgabe | a) wie oft muss man eine laplace-münze werfen, um mit möglichst großer wahrscheinlichkeit genau 3mal wappen zu bekommen?
b) bei wie vielen würfen einer laplace-münze ist die wahrscheinlichkeit am größten, genau 4mal wappen zu erhalten? |
zu a) richtige lösung: n= 5 oder n=6
zu b) n [mm] \in [/mm] {7;8}
die beiden aufgaben sind ja egtl gleich bis auf die zahlen, oder? wieso ist dann die lösung der einen einfach so angegeben und die der zweiten als menge?
wie berechnet man das denn?
danke..:)
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> a) wie oft muss man eine laplace-münze werfen, um mit
> möglichst großer wahrscheinlichkeit genau 3mal wappen zu
> bekommen?
> b) bei wie vielen würfen einer laplace-münze ist die
> wahrscheinlichkeit am größten, genau 4mal wappen zu
> erhalten?
> zu a) richtige lösung: n= 5 oder n=6
> zu b) n [mm]\in[/mm] {7;8}
> die beiden aufgaben sind ja egtl gleich bis auf die
> zahlen, oder? wieso ist dann die lösung der einen einfach
> so angegeben und die der zweiten als menge?
Versteh ich auch nicht.
> wie berechnet man das denn?
Die Anzahl der Wappen bei $n$-Würfen ist binomialverteilt, das heisst es ist
[mm]\mathrm{P}(\text{genau 3 mal Wappen})=\binom{n}{3}\cdot\left(\tfrac{1}{2}\right)^3\cdot\left(1-\tfrac{1}{2}\right)^{n-3}=\binom{n}{3}\cdot \frac{1}{2^n}[/mm]
Nun musst Du herausfinden, für welche $n$ der Wert dieser Wahrscheinlichkeit maximal wird. Es ist klar, dass für [mm] $n\rightarrow +\infty$ [/mm] diese Wahrscheinlichkeit beliebig klein wird. Du hast zwei Möglichkeiten:
1. reines Rechnen: Du rechnest einfach, beginnend bei $n=3$ bis der Wert für $n+1$ kleiner ist als der Wert für $n$.
2. etwas Diff'rechnung: Du bestimmst die Nullstellen der Ableitung dieser Funktion von $n$ (kann eventuell ganz schön schwierig werden!). Anschliessend prüfst Du die Wahrscheinlichkeiten für die ganzzahligen Werte links und rechts der Extremstellen.
Bei b) gehst Du analog vor, denn es ist:
[mm]\mathrm{P}(\text{genau 4 mal Wappen})=\binom{n}{4}\cdot\left(\tfrac{1}{2}\right)^4\cdot\left(1-\tfrac{1}{2}\right)^{n-4}=\binom{n}{4}\cdot \frac{1}{2^n}[/mm]
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