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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:04 Mo 09.11.2009 | | Autor: | DesterX |
Hallo zusammen.
Kann mir vielleicht einer erklären, wie die von einer Zufallsvariable bzw. von Zufallsvariablen erzeugte Sigma-Algebra ausschaut?
Irgendwie hab ich da ein Verständnisproblem.
Nehme ich z.B. ein einfaches Würfelexperiment: 2Mal Werfen und betrachte die Aufgensumme, also:
$ [mm] \Omega [/mm] = [mm] \{(1,1),(1,2),...,(6,6)\} [/mm] $
$ [mm] \Omega' [/mm] = [mm] \{2,3,...,12\} [/mm] $
$ X: [mm] \Omega \to \Omega' [/mm] $
$ [mm] (\omega_{1},\omega_{2}) \mapsto \omega_{1} [/mm] + [mm] \omega_{2}$
[/mm]
Ist dann [mm] $\sigma(X)=\{X^{-1}(A): A \in \mathcal{A}'\} [/mm] $ einfach die Potenzmenge von [mm] $\Omega$, [/mm] also [mm] $P(\Omega)$ [/mm] ? Falls ja, wäre mir noch unklar, warum man sie sodann einführt, wenn da ohnehin kein Unterschied zur Potenzmenge ist. Wie schaut das ganze vorallem bei mehreren Zufallsvariablen aus?
Ebenso verstehe ich noch nicht so ganz, warum man dann [mm] $\sigma(X)$ [/mm] als "Informationsgehalt" von X interpretiert.
Ich wäre um jeden Ratschlag und eventuell einfache Beispiele dankbar.
Dankeschön im Voraus.
Gruß, DesterX
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:53 Di 10.11.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin DesterX,
was ist denn [mm] $\mathcal{A}'$? [/mm] Ich vermute [mm] $\mathcal{P}(\Omega')$. [/mm] Dann ist [mm] $\sigma(X)\ne \mathcal{P}(\Omega)$, [/mm] denn [mm] $\{(1,1),(2,1)\}\notin \sigma(X)$ [/mm] ...
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:30 Di 10.11.2009 | | Autor: | DesterX |
Danke für die Antwort, luis!
Genau, ich würde dann $ [mm] \mathcal{A}' [/mm] = [mm] P(\Omega')$ [/mm] setzen.
Du hast recht: $ [mm] \{(1,1),(2,1)\}\notin \sigma(X) [/mm] $, aber nur zum Verständis:
Für [mm] $A=\{2,3´\} \in \mathcal{A}'$ [/mm] wäre beispielsweise [mm] $X^{-1}(A)=\{(1,1),(1,2),(2,1)\} \in \sigma(X)$ [/mm] ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:59 Di 10.11.2009 | | Autor: | luis52 |
> Danke für die Antwort, luis!
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> Genau, ich würde dann [mm]\mathcal{A}' = P(\Omega')[/mm] setzen.
>
> Du hast recht: [mm]\{(1,1),(2,1)\}\notin \sigma(X) [/mm], aber nur
> zum Verständis:
> Für [mm]A=\{2,3´\} \in \mathcal{A}'[/mm] wäre beispielsweise
> [mm]X^{-1}(A)=\{(1,1),(1,2),(2,1)\} \in \sigma(X)[/mm] ?
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
vg Luis
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