von der Achsenabschnittsform zur Parameterform < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:09 So 13.06.2004 | | Autor: | Alanis |
Hallo an alle,
Ich habe am Dienstag mündliche Prüfung in Mathe und habe noch eine wichtige Frage, was die Darstellung von Ebenen angeht.
Man kann die Ebene ja in verschiedenen Formen darstellen. Allerdings ist mir nicht ganz klar wie ich z.B eine Normalenform aus der Parameterform herstelle. Oder die Hessesche Normalenform aus der Normalenform.
Hoffentlich kann mir jemand helfen.
Bis dann, eure Alanis
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:35 So 13.06.2004 | | Autor: | Emily |
> Hallo an alle,
> Ich habe am Dienstag mündliche Prüfung in Mathe und habe
> noch eine wichtige Frage, was die Darstellung von Ebenen
> angeht.
> Man kann die Ebene ja in verschiedenen Formen darstellen.
> Allerdings ist mir nicht ganz klar wie ich z.B eine
> Normalenform aus der Parameterform herstelle. Oder die
> Hessesche Normalenform aus der Normalenform.
>
> Hoffentlich kann mir jemand helfen.
>
> Bis dann, eure Alanis
>
Hallo Alanis,
bei der Parameterform hast Du 2 Richtungsvektoren z. B. Vektor u und Vektor v.
Daraus bildest du das Vektorprodukt uXv=Vektor n.
Dann setzt Du den Aufpunkt ein in die Gleichung.
Für die Hesse Form mußt Du normieren, d.h. den Einheitsvektor bilden.
Du kannst mir gern ein Beispiel schicken.
Bis später
Gruß Emily
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:34 Mo 14.06.2004 | | Autor: | Alanis |
Hallo Emily,
ich weiß wie das mit der parameterform ist. Das Problem ist vielmehr , von der Parameterform auf die Achsenabschnittsform zu kommen. Bzw. der Abstand der Ebene zum Ursprung zu brechnen. Ich schau einfach noch mal in die Bücher. Aber trotzdem vielen Dank, Bin schon total aufgeregt......
Bis dann, Deine Alanis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:52 Mo 14.06.2004 | | Autor: | Emily |
> Hallo Emily,
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> ich weiß wie das mit der parameterform ist. Das Problem ist
> vielmehr , von der Parameterform auf die
> Achsenabschnittsform zu kommen. Bzw. der Abstand der Ebene
> zum Ursprung zu brechnen. Ich schau einfach noch mal in die
> Bücher. Aber trotzdem vielen Dank, Bin schon total
> aufgeregt......
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> Bis dann, Deine Alanis
Hallo Alanis, stell doch einmal ein konkretes Beispiel hin.
Ich rechne Dir dann die zugehörigen Ebenenformen aus.
Bis bald
Emily
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:08 Mo 14.06.2004 | | Autor: | Emily |
Hallo Alanis,
ich erklärs am Beispiel:
$e: [mm] \vec [/mm] x = [mm] \begin{pmatrix}-3\\3\\0\end{pmatrix}+\lambda*\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}+ \my*\begin{pmatrix}2\\1\\-2\end{pmatrix}$ [/mm] ist also eine Parameterform einer Ebene.
Du berechnest den Normalenvektor [mm] $\vec [/mm] n [mm] =\vec [/mm] u [mm] \times \vec [/mm] v $
[mm] $\vec [/mm] n = [mm] \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}2\\1\\-2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-2-0\\0+2\\1-2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-2\\2\\-1\end{pmatrix}$
[/mm]
Du hast jetzt den Normalenvektor [mm] $\vec [/mm] n [mm] =\begin{pmatrix}-2\\2\\-1\end{pmatrix}$.
[/mm]
Es gilt: $e: [mm] \vec [/mm] n [mm] *(\vec [/mm] x [mm] -\vec [/mm] a) = 0$
Dabei ist [mm] $\vec [/mm] a$ der Ortsvektor zum Aufpunkt.
Also $e: [mm] \begin{pmatrix}-2\\2\\-1\end{pmatrix}*(\vec [/mm] x - [mm] \begin{pmatrix}-3\\3\\0\end{pmatrix})= [/mm] 0$
$e: [mm] \begin{pmatrix}-2\\2\\-1\end{pmatrix}*\vec [/mm] x -(6+6+0)=0$
$e: [mm] \begin{pmatrix}-2\\2\\-1\end{pmatrix}*\vec [/mm] x-12=0$ ist die allgemeine Normalenform.
Du berechnest nun die Länge von [mm] $\begin{pmatrix}-2\\2\\-1\end{pmatrix}$
[/mm]
Betrag von| [mm] $\begin{pmatrix}-2\\2\\-1\end{pmatrix}|= \wurzel{4+4+1}=3$
[/mm]
Hesse-Form von $e: [mm] \bruch{1}{3}\begin{pmatrix}-2\\2\\-1\end{pmatrix}*\vec [/mm] x-4=0$
Dabei ist 4 der Abstand zum Ursprung.
Allgemein:
Ist $e: [mm] \vec n^0 *\vec [/mm] x - d = 0$ mit $d [mm] \ge [/mm] 0 $ und [mm] $\vec n^0$ [/mm] Einheitsvektor, so ist d der Abstand vom Ursprung.
Achsenabschnittsform:
[mm] $\bruch{-1}{6}x_{1}+\bruch{1}{6}x_{2}+\bruch{-1}{12}x_{3}=1$
[/mm]
Hier kannst Du die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen ablesen:
[mm] S_{1}(-6/0/0), S_{2}(0/6/0) [/mm] und [mm] S_{3}(0/0/-12)
[/mm]
Gruß Emily
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