von X erzeugte Ideal < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:30 Mi 26.11.2014 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Sei R ein Ring und [mm] X\subseteq [/mm] R. Dann heißt (X):= [mm] \bigcap_{X\subseteq I, I \mbox{Ideal}} [/mm] das von X erzeugte Ideal.
Frage dazu:
Es gilt doch X [mm] \subseteq [/mm] (X), also gilt auch insbesondere:
[mm] \alpha [/mm] i [mm] \in [/mm] (X) [mm] \forall \alpha \in [/mm] R und i [mm] \in [/mm] X
Aber gilt sogar [mm] \alpha [/mm] i [mm] \in [/mm] X für [mm] \alpha \in [/mm] R, i [mm] \in [/mm] X? |
Hallo zusammen,
Ich hab gerade angefangen mich etwas mit Ringen zu beschäftigen und da ist bei einen Beweis die obige Frage aufgetaucht.
Definition von Ideal:
Sei R ein Ring mit I [mm] \subseteq [/mm] R ein Unterring von R:
I heißt Ideal vom Ring R wenn I Links- und auch Rechtsideal ist:
[mm] \alpha [/mm] x [mm] \in [/mm] I [mm] \wedge [/mm] x [mm] \alpha \in [/mm] I [mm] \forall \alpha \in [/mm] R [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] I
LG,
sissi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:40 Mi 26.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Sei R ein Ring und [mm]X\subseteq[/mm] R. Dann heißt (X):=
> [mm]\bigcap_{X\subseteq I, I \mbox{Ideal}}[/mm] das von X erzeugte
> Ideal.
>
> Frage dazu:
> Es gilt doch X [mm]\subseteq[/mm] (X), also gilt auch
> insbesondere:
> [mm]\alpha[/mm] i [mm]\in[/mm] (X) [mm]\forall \alpha \in[/mm] R und i [mm]\in[/mm] X
Ja, das gilt, weil (X) ein Ideal ist.
> Aber gilt sogar [mm]\alpha[/mm] i [mm]\in[/mm] X für [mm]\alpha \in[/mm] R, i [mm]\in[/mm]
> X?
Nein. Das ist i.a. falsch.
FRED
> Hallo zusammen,
>
> Ich hab gerade angefangen mich etwas mit Ringen zu
> beschäftigen und da ist bei einen Beweis die obige Frage
> aufgetaucht.
>
> Definition von Ideal:
> Sei R ein Ring mit I [mm]\subseteq[/mm] R ein Unterring von R:
> I heißt Ideal vom Ring R wenn I Links- und auch
> Rechtsideal ist:
> [mm]\alpha[/mm] x [mm]\in[/mm] I [mm]\wedge[/mm] x [mm]\alpha \in[/mm] I [mm]\forall \alpha \in[/mm] R
> [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] I
>
> LG,
> sissi
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Fred hat es ja eigentlich schon beantwortet. Besonders einfache Gegenbeispiele findest du, wenn du X leer oder einelementig ist.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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