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| Aufgabe | Geben SIe eine lineare DGL zweiter ORdnung an, deren allgemeine Lösung y=sinx + [mm] (C1+C2x)e^{x} [/mm] ist. C1,C2 sind Element der reellen Zahlen.
Lösung y''-2y'+y=-2cos |
Hallo, hier mal eine "andersrum"-Aufgabe und natürlich bin ich wieder mal nicht mehr fit genug, klar zu denken....Wie geht man denn da vor?
Also ich dachte ja, man überlegt sich die NStellen (also findet raus, was von der homogenen dgl herrührt), baut ein Produkt, wo die Faktoren die (Lambda-Nst) sind, multipliziert das aus und erhält so das charakteristische Polynom. Dann ersetzt man die [mm] lambda^{i} [/mm] durch [mm] y^{(i)} [/mm] (i.te Ableitung von y) und hat so seine homogene DGL.
Hier wäre jetzt noch sin x in der Lösung, das die partikuläre Lösung ist. Wie ichd as aber jetzt noch in meine DGL kriege?! Ich steh grad aufm Schlauch...Einfach integrieren wird's ja nicht sein.
Außerdem glaube ich, dass mein Weg davor auch falsch ist, wenn ich mit der Lösung vergleiche:
Mein Ergebnis:
Nullstelle ist "1" ( und sie ist 2fach reell), daher muss die charakteristische GLeichung lauten:
[mm] (lambda-1)^{2}=(lambda)^{2}-2*lambda+1
[/mm]
Somit wäre MEINE homogene DGL y''+2y'+1....
Also stimmt meine Überlegung ja doch nicht...aber was mache ich falsch?
Grüße,
LZ
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:24 Do 18.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie du die homogene Dgl. finden willst ist richtig. für [mm] \lambda^2 [/mm] y'' für [mm] \lambda [/mm] y' ind für [mm] \lambda^0 [/mm] y einsetzen.
du hattest richtig :
$ [mm] (lambda-1)^{2}=(lambda)^{2}-2\cdot{}lambda+1 [/mm] $
warum dann nicht y''-2y'+y=0 du hast einfach das - bei [mm] \lambda [/mm] ignoriert?
dann wäre die polynom ja [mm] (lambda)^{2}+2\cdot{}lambda+1 [/mm] gewesen, mit der DoppelLösung [mm] \lambda=-1
[/mm]
inhomogenerTeil: einfach das sinx in die homogene einsetzen, da muss der inhomogene Teil ja rauskommen
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:55 Do 18.02.2010 | | Autor: | Loewenzahn |
Ja, das war's! Das einfachste sieht man mal wieder nich...
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| Aufgabe | Gegeben sei eine inhom.lin.DGL mit konst. Koeffizienten. die charakteristl GL der zugeh hom.DGL habe die Lösungen (ich nenne lambda=h, zur besseren Lesbarkeit) [mm] h_{1}=h_{2}=1, h_{3}=h_{4}=2 [/mm] und [mm] h_{5/6}=+-i.
[/mm]
Geben Sie die homogene DGL an.
Lösung: [mm] y^{(6)}-6y^{(5)}+14y^{(4)}-18y^{(3)}-17y''-12y'+4y=0 [/mm] |
Hallo, da die Koeffizienten meiner Lösung so sehr abweichen und ich aber dachte, mein Ansatz wäre rcihtig, würde ich gerne wissen,ob er denn richtig ist, und ich nur falsch ausmultipliziert habe, oder ob es einen grundlegende Fehler im Ansatz gab?
Mein Ansatz:
[mm] (h-1)^{2}(h-2)^{2}(h-i)(h+i)=....
[/mm]
weil ich dachte, dass ja 1 und 2 2fache NSt sind, und i ein komplexkonjug.Lösungspaar
Danke!
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> Gegeben sei eine inhom.lin.DGL mit konst. Koeffizienten.
> die charakteristl GL der zugeh hom.DGL habe die Lösungen
> (ich nenne lambda=h, zur besseren Lesbarkeit)
> [mm]h_{1}=h_{2}=1, h_{3}=h_{4}=2[/mm] und [mm]h_{5/6}=+-i.[/mm]
>
> Geben Sie die homogene DGL an.
> Lösung:
> [mm]y^{(6)}-6y^{(5)}+14y^{(4)}-18y^{(3)}-17y''-12y'+4y=0[/mm]
> Hallo, da die Koeffizienten meiner Lösung so sehr
> abweichen und ich aber dachte, mein Ansatz wäre rcihtig,
> würde ich gerne wissen,ob er denn richtig ist, und ich nur
> falsch ausmultipliziert habe, oder ob es einen grundlegende
> Fehler im Ansatz gab?
>
> Mein Ansatz:
>
> [mm](h-1)^{2}(h-2)^{2}(h-i)(h+i)=....[/mm]
wenn ich den ansatz ausmultipliziere(n lasse  ) kommt
[mm] $${h}^{6}-6\,{h}^{5}+14\,{h}^{4}-18\,{h}^{3}+17\,{h}^{2}-12\,h+4$$
[/mm]
das deckt sich ja mit der lösung ganz gut
>
> weil ich dachte, dass ja 1 und 2 2fache NSt sind, und i ein
> komplexkonjug.Lösungspaar
>
> Danke!
gruß tee
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