von Ableitung zur Normalfunkti < Steckbriefaufgaben < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:54 Di 20.08.2013 | | Autor: | Mmathe |
| Aufgabe | Hi
Von einer Funktion F ist die Ableitungsfunktion [mm] f'(x)=-0,5x^2+x+1,5 [/mm] bekannt. Der Graph war von f verläuft durch den Punkt P (0/-2).
Bestimmen sie die Lage und Art der Extremstellen von f und finden sie die Funktionsgleichung von f(x). |
Wie soll ich auf die Funktionsgleichung zurückkommen? Ich habe bislang nur zwei Bedingungen für die X ³ Funktion gefunden:
P (0/-2)
Nullstelle (0/-2)
Ist das der richtige Anfang?
Ich brauche doch noch eine dritte Bedingung da es ja eine X ³ Funktion ist?
#Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Hi
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> Von einer Funktion F ist die Ableitungsfunktion
> [mm]f'(x)=-0,5x^2+x+1,5[/mm] bekannt. Der Graph war von f verläuft
> durch den Punkt P (0/-2).
>
> Bestimmen sie die Lage und Art der Extremstellen von f und
> finden sie die Funktionsgleichung von f(x).
> Wie soll ich auf die Funktionsgleichung zurückkommen? Ich
> habe bislang nur zwei Bedingungen für die [mm] X^3 [/mm] Funktion
> gefunden:
>
> P (0/-2)
>
> Nullstelle (0/-2) ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Die gesuchte kubische Funktion f muss eine Gleichung
der Form
$\ f(x)\ =\ [mm] a*x^3+b*x^2+c*x+d$
[/mm]
(mit vorläufig noch unbekannten Koeffizienten a,b,c,d)
haben. Leite diese Gleichung einmal beidseitig ab.
Vergleiche die entstehende Ableitung mit der vorgegebenen.
Benütze dann ausserdem die Bedingung f(0)=-2 .
Auf diese Weise kannst du die Werte aller 4 Koeffizienten
bestimmen.
LG , Al-Chw.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:12 Di 20.08.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hi
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> Von einer Funktion F ist die Ableitungsfunktion
> [mm]f'(x)=-0,5x^2+x+1,5[/mm] bekannt.
damit weißt Du schon direkt [mm] ($\to$ [/mm] Integralrechnung!)
[mm] $f(x)=\frac{-0,5}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2+1,5x+c$
[/mm]
mit einer noch zu bestimmenden Konstanten [mm] $c\,.$ [/mm] Diese Konstante
wiederum kannst Du direkt aus der Bedingung $f(0)=-2$ "ablesen"!
Gruß,
Marcel
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> Hallo,
>
> > Hi
> >
> > Von einer Funktion F ist die Ableitungsfunktion
> > [mm]f'(x)=-0,5x^2+x+1,5[/mm] bekannt.
>
> damit weißt Du schon direkt ([mm]\to[/mm] Integralrechnung!)
>
> [mm]f(x)=\frac{-0,5}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2+1,5x+c[/mm]
>
> mit einer noch zu bestimmenden Konstanten [mm]c\,.[/mm] Diese
> Konstante
> wiederum kannst Du direkt aus der Bedingung [mm]f(0)=-2[/mm]
> "ablesen"!
>
> Gruß,
> Marcel
Hallo Marcel,
ob der Fragesteller dies einfach schon "weiß", war doch
nicht von vornherein klar.
Deshalb wollte ich ihm auch nicht gerade 95% der Lösung
gleich auf die Nase binden !
LG , Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:06 Mi 21.08.2013 | | Autor: | fred97 |
> > Hallo,
> >
> > > Hi
> > >
> > > Von einer Funktion F ist die Ableitungsfunktion
> > > [mm]f'(x)=-0,5x^2+x+1,5[/mm] bekannt.
> >
> > damit weißt Du schon direkt ([mm]\to[/mm] Integralrechnung!)
> >
> > [mm]f(x)=\frac{-0,5}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2+1,5x+c[/mm]
> >
> > mit einer noch zu bestimmenden Konstanten [mm]c\,.[/mm] Diese
> > Konstante
> > wiederum kannst Du direkt aus der Bedingung [mm]f(0)=-2[/mm]
> > "ablesen"!
> >
> > Gruß,
> > Marcel
>
>
> Hallo Marcel,
>
> ob der Fragesteller dies einfach schon "weiß", war doch
> nicht von vornherein klar.
> Deshalb wollte ich ihm auch nicht gerade 95% der Lösung
> gleich auf die Nase binden !
Hallo Al,
Du irrst Dich gewaltig !
Die gesuchte Funktion hat die Form
$ \ f(x)\ =\ [mm] a\cdot{}x^3+b\cdot{}x^2+c\cdot{}x+d [/mm] $.
Somit sind 4 Koeffizienten gesucht. 3 davon hat Marcel dem Fragesteller auf die Nase gebunden, das sind 75% und nicht 95 % !!!
Spass beiseite und Gruß
FRED
>
> LG , Al-Chw.
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> > > Hallo,
> > >
> > > > Hi
> > > >
> > > > Von einer Funktion F ist die Ableitungsfunktion
> > > > [mm]f'(x)=-0,5x^2+x+1,5[/mm] bekannt.
> > >
> > > damit weißt Du schon direkt ([mm]\to[/mm] Integralrechnung!)
> > >
> > > [mm]f(x)=\frac{-0,5}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2+1,5x+c[/mm]
> > >
> > > mit einer noch zu bestimmenden Konstanten [mm]c\,.[/mm] Diese
> > > Konstante
> > > wiederum kannst Du direkt aus der Bedingung [mm]f(0)=-2[/mm]
> > > "ablesen"!
> > >
> > > Gruß,
> > > Marcel
> >
> >
> > Hallo Marcel,
> >
> > ob der Fragesteller dies einfach schon "weiß", war doch
> > nicht von vornherein klar.
> > Deshalb wollte ich ihm auch nicht gerade 95% der
> Lösung
> > gleich auf die Nase binden !
>
> Hallo Al,
>
> Du irrst Dich gewaltig !
>
> Die gesuchte Funktion hat die Form
>
>
>
> [mm]\ f(x)\ =\ a\cdot{}x^3+b\cdot{}x^2+c\cdot{}x+d [/mm].
>
> Somit sind 4 Koeffizienten gesucht. 3 davon hat Marcel dem
> Fragesteller auf die Nase gebunden, das sind 75% und nicht
> 95 % !!!
>
> Spass beiseite und Gruß
>
> FRED
>
> > LG , Al-Chw.
Oh, I can't say how sorry I am ...
From a certain viewpoint ...(*) you are certainly right.
Bei Marcel möchte ich inständig um Verzeihung für die
schlimme Fehleinschätzung bitten.
Al
(*) ... which is quite probably not really yours ... 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:57 Do 22.08.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> > > Hallo,
> > >
> > > > Hi
> > > >
> > > > Von einer Funktion F ist die Ableitungsfunktion
> > > > [mm]f'(x)=-0,5x^2+x+1,5[/mm] bekannt.
> > >
> > > damit weißt Du schon direkt ([mm]\to[/mm] Integralrechnung!)
> > >
> > > [mm]f(x)=\frac{-0,5}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2+1,5x+c[/mm]
> > >
> > > mit einer noch zu bestimmenden Konstanten [mm]c\,.[/mm] Diese
> > > Konstante
> > > wiederum kannst Du direkt aus der Bedingung [mm]f(0)=-2[/mm]
> > > "ablesen"!
> > >
> > > Gruß,
> > > Marcel
> >
> >
> > Hallo Marcel,
> >
> > ob der Fragesteller dies einfach schon "weiß", war doch
> > nicht von vornherein klar.
> > Deshalb wollte ich ihm auch nicht gerade 95% der
> Lösung
> > gleich auf die Nase binden !
>
> Hallo Al,
>
> Du irrst Dich gewaltig !
>
> Die gesuchte Funktion hat die Form
>
>
>
> [mm]\ f(x)\ =\ a\cdot{}x^3+b\cdot{}x^2+c\cdot{}x+d [/mm].
strenggenommen könnten wir ja hier schon anfangen: Können wir von
dem Standpunkt ausgehen, dass dem Fragesteller das klar ist, dass
nur solch' eine Form in Frage kommt? Denn meist werden in der Schule
solche Aufgaben gestellt, wo man zwar motiviert, dass eine gesuchte
Funktion hier solch' eine Gestalt haben kann - aber nicht, dass sie sie
haben muss... (Alleine mit der Formel [mm] $\int x^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}$ [/mm] (die man
ja auch schon richtig lesen muss: [mm] $\int x^n dx=\left(\IR \ni t \mapsto \frac{1}{n+1}t^{n+1} \in \IR\right)$ [/mm] etwa könnte man
auch [mm] $f(x)=a_5x^5+a_4x^4+...+a_1x+a_0$ [/mm] ansetzen... so rein mit "Beobachtungen aus dem
Schulunterricht" (sofern diese nicht weiter kommentiert wurden)).
Weiterhin macht man in der Schule ja auch gerne oft mal einfach so den
Koeffizientenvergleich bei Polynomfunktionen (ich hatte einen guten
Lehrer, der den Satz benannt hat, wo das herkommt; aber natürlich hatte
er es sich erspart, den in der Schule zu beweisen - was jetzt keine Kritik
an meinem ehemaligen Lehrer sein soll...).
> Somit sind 4 Koeffizienten gesucht. 3 davon hat Marcel dem
> Fragesteller auf die Nase gebunden, das sind 75% und nicht
> 95 % !!!
Das stimmt leider auch nicht ganz: Ich habe im Prinzip tatsächlich 3 der 4
Koeffizienten direkt hingeschrieben, und den vierten mit dem Hinweis, dass
ja [mm] $f(0)=-2\,$ [/mm] gelten soll, sagen wir mal: induziert. Von daher habe ich
tatsächlich viel zu viel von "der" gesuchten Funktion preisgegeben.
(Wobei 75% ja auch schon viel zu viel wäre...)
Und in der Tat entschuldige ich mich auch dafür ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") ; ich hätte es anders
machen sollen (ich habe Al eine PN geschrieben, ich glaube, er hätte das
besser gefunden, wenn ich das so gemacht hätte). Andererseits kann man
in der Aufgabe hier, die ja mehr oder weniger trivial ist, dennoch einiges von
den Sätzen der Analysis entdecken, die man nicht ohne Grund lernt. Selbst
in meiner Rechnung kann man, wenn es eine "ganz sauber aufgeschriebene
Lösung ist", noch einiges ergänzen, was da verwendet wird:
Neben der Begründung "weswegen Koeffizientenvgl." und "bei der Aufgabe
sind unter den gegebenen Voraussetzungen Stammfunktionen eindeutig bis
auf eine additive Konstante" (oder HDI oder ...) auch sowas wie die
Linearität der Integration.
(Das Ganze ändert aber nichts daran, dass Als Kritik à la "viel zu viel
vorgerechnet" absolut berechtigt ist. Es war einfach zu unbedacht
von mir.)
P.S. Der Grund, warum ich hier mehr als einfach nur "" schreibe, ist, dass
ich wirklich mal drauf aufmerksam machen will, dass in einer solch' doch
"einfachen Aufgabe" tatsächlich mehr an Mathematik drin steckt, jedenfalls,
wenn man sie sich genauer anguckt, als man zunächst vermutet. Nichts,
was an sich jetzt großartig kompliziert wäre, sondern es sind alles kleine,
aber feine, Bauteile.
(Und eine andere Geschichte: Ich hatte mal mit jemanden diskutiert, was
in einem Paper die Notation [mm] $\int_0^x [/mm] f(x)dx$ bedeuten solle (eigentlich sah der
Term komplizierter aus). Aus dem physikalischen Zusammenhang war wohl
klar, dass da eigentlich [mm] $\int_0^{\tilde{x}}f(x)dx$ [/mm] hingehört... für mich stand
da aber nur der mathematisch unsinnige erstgenannte Term. Am Ende
wurde ich dafür kritisiert, dass ich das nicht einfach hingenommen hätte...
Für mich war es dann aber eher so, dass ich gesagt hatte: "Naja, wenn man
das richtig aufgeschrieben hätte, hätte ich auch gewußt, was gemeint ist."
Das soll nur verdeutlichen, inwiefern viele Leute auch Sachen einfach
"automatisieren" und dann vielleicht mal an einer entscheidenden Stelle
vergessen, drüber nachzudenken, was sie da getan haben und andere
deren Ergebnisse dann so gar nicht mehr nachvollziehen können. Sowas
ist der Grund, warum ich da so ein starkes Auge drauf habe: Denn nicht
selten habe ich schon so manch' komisches gefolgert, was hinten und vorne
nicht stimmen konnte, weil ich ein Ergebnis von jemanden verwendet hatte,
dass unsauber bzw. falsch aufgeschrieben worden war... Das kann ganz
schön ärgerlich sein, wenn man dann mit unnötiger Fehlersuche seine Zeit
verschwendet... Aber das ist eher O.T....)
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel,
> > Die gesuchte Funktion hat die Form
> >
> > [mm]\ f(x)\ =\ a\cdot{}x^3+b\cdot{}x^2+c\cdot{}x+d [/mm].
>
> strenggenommen könnten wir ja hier schon anfangen: Können
> wir von dem Standpunkt ausgehen, dass dem Fragesteller das klar
> ist, dass nur solch' eine Form in Frage kommt?
Naja, der Fragesteller hat von "einer X³ Funktion" gesprochen.
Eigentlich wollte ich ihm mit der vollständigen Angabe eines
entsprechenden Ansatzes helfen, diese vorerst noch ziemlich
schwammige Idee zu konkretisieren ...
LG , Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:48 Do 22.08.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi Al,
> Hallo Marcel,
>
>
> > > Die gesuchte Funktion hat die Form
> > >
> > > [mm]\ f(x)\ =\ a\cdot{}x^3+b\cdot{}x^2+c\cdot{}x+d [/mm].
> >
> > strenggenommen könnten wir ja hier schon anfangen: Können
> > wir von dem Standpunkt ausgehen, dass dem Fragesteller das
> klar
> > ist, dass nur solch' eine Form in Frage kommt?
>
>
> Naja, der Fragesteller hat von "einer X³ Funktion"
> gesprochen.
dann kann ich nur davon ausgehen, dass er zumindest weiß, dass solche
Funktionen wohl ein geeigneter Ansatz wären.
> Eigentlich wollte ich ihm mit der vollständigen Angabe
> eines
> entsprechenden Ansatzes helfen, diese vorerst noch
> ziemlich
> schwammige Idee zu konkretisieren ...
Das ist ja auch wieder so 'ne Sache: Ist der Begriff "X³-Funktion" etwas
selbst kreiertes, oder etwas, was ein(e) Lehrer(in) "in den Unterricht hat
einfließen lassen". Denn irgendwo müssen ja auch diese unsinnigen
Wörter wie "aufleiten. Aufleitung" ihre Ursprünge haben...
(Ich weiß sogar, dass sowas in so manch' Wirtschaftswissenschaften schon
verwendet wird... ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]") )
Gruß,
Marcel
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