vom Eigenwert zur Abbildung < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Geg. sei eine lineare Abbildung kanonischen Basis mit f: [mm] \IR^3 \to \IR^3 [/mm] von der wir die drei Eigenvektoren [mm] v_1,v_2, v_3 [/mm] und die dazugehörigen Eigenwerte kennen.
[mm] \lambda_1=1; \lambda_2=\lambda_3=-1 [/mm] |
Ich bräuchte mal nen Tipp, wie ich nun an die Abbildungsmatrix gelangen kann.
Oder bleibt mir hier nichts anderes übrig als den Weg über das charateristische polynom zu gehen?
Oder muß ich nur ne Basiswechselmatrix [mm] E_3->V [/mm] und [mm] V->E_3 [/mm] bestimmen und die dann multiplizieren?
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> Geg. sei eine lineare Abbildung kanonischen Basis mit f:
> [mm]\IR^3 \to \IR^3[/mm] von der wir die drei Eigenvektoren [mm]v_1,v_2, v_3[/mm]
> und die dazugehörigen Eigenwerte kennen.
> [mm]\lambda_1=1; \lambda_2=\lambda_3=-1[/mm]
> Ich bräuchte mal nen
> Tipp, wie ich nun an die Abbildungsmatrix gelangen kann.
Hallo,
die Sache ist einfacher, als Du vermutest.
Ich gehe davon aus, daß die Aufgabe etwas unpräzise gestellt ist.
Es soll gewiß [mm] v_1 [/mm] der EV zu 1 sein, und [mm] v_2 [/mm] und [mm] v_3 [/mm] zwei linear unabhängige EVen zum EW 1.
Also ist B:= [mm] (v_1,v_2,v_3) [/mm] eine Basis des [mm] \IR^3 [/mm] aus Eigenvektoren der Abbildung.
Stell doch einfach die darstellende Matrix bzgl. dieser Vektoren auf!
Was ist [mm] f(v_1), f(v_2), f(v_3)?
[/mm]
Gruß v. Angela
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also ein Eigenvektor von f ist ein Element [mm] v\in [/mm] V [mm] (\not=0), [/mm] so dass f(v)=v.
Also ist [mm] f(v_1)=v_1, f(v_2)=v_2 [/mm] und [mm] f(v_3)=v_3
[/mm]
[mm] \Rightarrow (A)(v_1)=v_1 \Rightarrow \pmat{1&0&0\\0&1&0\\0&0&1}(v_1)=v_1
[/mm]
Nur so richtig versteh ich das nicht. So ganz ist mir nicht klar wo die Abbildungsvorschrift stecken soll. Mir ist ja klar das die Eigenvektoren ne basis darstellen.
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> also ein Eigenvektor von f ist ein Element [mm]v\in[/mm] V [mm](\not=0),[/mm]
> so dass f(v)=v.
> Also ist [mm]f(v_1)=v_1, f(v_2)=v_2[/mm] und [mm]f(v_3)=v_3[/mm]
Nein, das stimmt so nicht.
[mm] v_2 [/mm] und [mm] v_3 [/mm] gehören ja zum EW -1.
Also ist [mm] f(v_2)=? [/mm] und [mm] f(v_3)=? [/mm] .
>
> [mm]\Rightarrow (A)(v_1)=v_1 \Rightarrow \pmat{1&0&0\\0&1&0\\0&0&1}(v_1)=v_1[/mm]
>
> Nur so richtig versteh ich das nicht. So ganz ist mir nicht
> klar wo die Abbildungsvorschrift stecken soll.
Mit Recht wirst Du hier stutzig. Es ist ja wie gesagt nicht richtig.
Gruß v. Angela
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Also [mm] v_1 [/mm] = [mm] \vektor{1\\-3\\2}, v_2={-2\\7\\-3} [/mm] und [mm] v_3=\vektor{-1\\3\\-3}
[/mm]
gut. richtig ist doch dass [mm] v_2 [/mm] und [mm] v_3 [/mm] den zu [mm] \lambda=-1 [/mm] zugehörigen Eigenwertraum aufspannen. Der hat dim=2, da [mm] v_2 [/mm] und [mm] v_3 [/mm] lin. unabh. sind.
Weiterhin weiß ich ja, dass detA=1 und spurA = -1.
Nur mir ist nicht klar, wie ich vom Eigenwertraum zur abbildung komme.
Gilt hier denn: [mm] Ax=\lambda [/mm] x?
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> Also [mm]v_1[/mm] = [mm]\vektor{1\\-3\\2}, v_2={-2\\7\\-3}[/mm] und
> [mm]v_3=\vektor{-1\\3\\-3}[/mm]
Ach, Du hast ja konkrete Werte...
Die Frage bleibt:
Was ist [mm] f(v_2) [/mm] ?
Was bedeutet es denn, daß [mm] v_2 [/mm] Eigenvektor zum Eigenwert -1 ist?
Wie sind Eigenvektor und Eigenwert definiert???
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Da ich jetzt weiß, daß Ihr konkrete Werte habt, wird mir die Aufgabenstellung klar.
So geht's.
Stell zunächst (mit den bisher gegebenen Hilfen) wie besprochen die darstellende Matrix von f bzgl. der Basis B aus Eigenvektoren auf.
Das kannst Du dann anschließend Koordinaten bzgl. der Standardbasis transformieren.
Gruß v. Angela
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o.k. [mm] f(v)=\lambda [/mm] v
[mm] \Rightarrow f(v_2)=\vektor{2\\-7\\3}; f(v_3)=\vektor{1\\-3\\3}
[/mm]
gut. dann hab ich mit [mm] (f(v_1),f(v_2),f(v_3)) [/mm] dann ne Abbildungsmatix bezügl. der Basis V.
Die Transformiere ich nun, damit ich die abbildung auch bezügl. der Basis [mm] E_3 [/mm] bekomme?
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> o.k. [mm]f(v)=\lambda[/mm] v
> [mm]\Rightarrow f(v_2)=\vektor{2\\-7\\3}; f(v_3)=\vektor{1\\-3\\3}[/mm]
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> gut. dann hab ich mit [mm](f(v_1),f(v_2),f(v_3))[/mm] dann ne
> Abbildungsmatix bezügl. der Basis V.
Ohgottogott - es naht Wirrnis.
Was meinst Du mit V? Wahrscheinlich meinst Du damit [mm] (v_1, v_2, v_3), [/mm] das, was ich vorhin B genannt hatte. Nennen wir es also jetzt V. Können wir machen.
Und weil wir gerade so gut dabei sind, nennen wir die aus den Einheitsvektoren [mm] e_1, e_2, e_3 [/mm] bestehende Einheitsbasis E.
Kannst Du nun mal
[mm] f(v_1),f(v_2),f(v_3) [/mm] jeweils schreiben als Linearkombination der [mm] v_i?
[/mm]
Hieraus gewinnst Du
[mm] M_{V\to V}(f).
[/mm]
Willst Du hieraus [mm] M{E\to E}(f) [/mm] erhalten, mußt Du vorne und hinten die jeweils passende Transformationsmatrix dranmultiplizieren.
Schreibst Du [mm] f(v_1),f(v_2),f(v_3) [/mm] als Linearkombination der Einheitsvektoren, (was Du im vorhergehenden Post tatest,) gewinnst Du
[mm] M{V\to E}(f).
[/mm]
Willst Du hieraus [mm] M_{E\to E}(f) [/mm] erhalten, mußt Du hinten die passende Transformationsmatrix dranmultiplizieren.
Herauskommen sollte schließlich in beiden Fällen dasselbe. Sonst ist was falsch.
Gruß v. Angela
> Die Transformiere ich nun, damit ich die abbildung auch
> bezügl. der Basis [mm]E_3[/mm] bekomme?
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:37 Sa 07.07.2007 | | Autor: | pleaselook |
Danke für die Geduld.
Ich probier das mal und gib dir dann noch mal Rückmeldung, ob das geklappt hat.
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O.k. es hat klick gemacht.
Also:
[mm] A_{(V \to V)}(f)=\pmat{\lambda_1&0&0\\0&\lambda_2&0\\0&0&\lambda_3}=\pmat{1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1}
[/mm]
[mm] B_{(E \to V)}=\pmat{1&-2&-1\\-3&7&3\\2&-3&-3}\Rightarrow B_{(V \to E)}=B_{(E \to V)}^{-1}=\pmat{12&3&-1\\3&1&0\\5&1&-1}
[/mm]
[mm] A_{(E \to E)}(f)= B_{(V \to E)} A_{(V \to V)}(f)B_{(E \to V)}=\pmat{23&-48&-24\\6&-13&-6\\10&-20&-11}
[/mm]
Und die hat dann auch det(A)= [mm] \lambda_1 \lambda_2 \lambda_3=1 [/mm] und spur(A)= [mm] \lamda_1 [/mm] + [mm] \lambda_2+ \lambda_3=-1.
[/mm]
Frage: [mm] W=(f(v_1), f(v_2), f(v_3)) [/mm] ist doch auch eine Basis mit span(W)=span(V) von [mm] \IR^3. [/mm] Hätte ich das auch alles bezüglich dieser machen können?
also einmal so: [mm] A_{(E \to E)}(f)= B_{(W \to E)} A_{(V \to W)}(f)B_{(E \to V)} [/mm] oder sogar: [mm] A_{(E \to E)}(f)= B_{(W \to E)} A_{(W \to W)}(f)B_{(E \to W)}? [/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:17 So 08.07.2007 | | Autor: | pleaselook |
wobei der allerletzte Ansatz blöd wäre, da wir ja die Bilder von [mm] f(f(v_n)) [/mm] nicht kennen? Oder kann man sagen, dass [mm] f(f(v_n))=\lambda_n f(v_n)?
[/mm]
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> wobei der allerletzte Ansatz blöd wäre, da wir ja die
> Bilder von [mm]f(f(v_n))[/mm] nicht kennen? Oder kann man sagen,
> dass [mm]f(f(v_n))=\lambda_n f(v_n)?[/mm]
Sagen kann man viel - aber es stimmt auch!
[mm] f(f(v_n))=f(\lambda_n v_n)=\lambda_nf(v_n), [/mm] f ist ja linear.
Hier bekommt man dieselbe Matrix, wie für [mm] M_{V\to V}(f).
[/mm]
Das ist kein Wunder: genau wie V ist auch W eine Basis aus Eigenvektoren.
Gruß v. Angela
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> O.k. es hat klick gemacht.
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> Also:
> [mm]A_{(V \to V)}(f)=\pmat{\lambda_1&0&0\\0&\lambda_2&0\\0&0&\lambda_3}=\pmat{1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1}[/mm]
Hallo,
ja, jetzt hast Du das verstanden.
Bzgl. der Matrix [mm] B_{(E \to V)} [/mm] machst Du leider einen ganz typischen Anfängerfehler:
die von Dir angegebene Matrix [mm] \pmat{1&-2&-1\\-3&7&3\\2&-3&-3} [/mm] ist nicht [mm] B_{(E \to V)}, [/mm] sondern es ist die Matrix [mm] B_{(V \to E)}!!!
[/mm]
Ich will Dir das kurz erklären:
Es ist [mm] v_1=\vektor{1 \\ -3\\2}.
[/mm]
Genauer müßte man schreiben [mm] v_1=\vektor{1 \\ -3\\2}_E, [/mm] denn der Spaltenvektor gibt die Koordinaten bzgl der Einheitsbasis an.
Für die Matrix [mm] B_{(E \to V)} [/mm] müßtest Du Dir überlegen, wie Du [mm] e_1 [/mm] als Linearkombination der [mm] v_i [/mm] schreibst,
[mm] e_1=av_1+bv_2+cv_3=\vektor{a \\ b\\c}_V. [/mm] Das wäre dann die 1.Spalte von [mm] B_{(E \to V)}. [/mm] (Natürlich bekommst Du [mm] B_{(E \to V)} [/mm] auch durch Inversion von [mm] B_{(V \to E)}, [/mm] aber ich entnehme Deinem Post, daß Du das weißt.
>
> Frage: [mm]W=(f(v_1), f(v_2), f(v_3))[/mm] ist doch auch eine Basis
> mit span(W)=span(V) von [mm]\IR^3.[/mm] Hätte ich das auch alles
> bezüglich dieser machen können?
Klar. Allerdings fände ich es nicht so praktisch.
Du könntest bei Lust und Laune auch [mm] M_{V\to W}(f) [/mm] aufstellen. Das wäre die Einheitsmatrix.
Der Informationsgehalt ist allerdings gering.
> also einmal so: [mm]A_{(E \to E)}(f)= B_{(W \to E)} A_{(V \to W)}(f)B_{(E \to V)}[/mm]
> oder sogar: [mm]A_{(E \to E)}(f)= B_{(W \to E)} A_{(W \to W)}(f)B_{(E \to W)}?[/mm]
All das kannst Du tun, und wenn Du es richtig machst, kommt das Richtige heraus.
Gruß v. Angela
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