vollständiges Quadrat < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:44 Sa 01.06.2013 | | Autor: | wauwau |
| Aufgabe | Für welche positiven ganzen Zahlen A,R,S wird der Ausdruck
[mm] $A^2(R+S)^2+4AR(R-S+RS)$
[/mm]
ein vollständiges Quadrat? |
Schaut so nach Radikand der quadr. Gleichung
[mm] $AR*x^2 [/mm] - A*(R+S)*x -(R-S+RS) = 0$
aber das hat mir bis jetzt auch noch nicht weitergeholfen.
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> Für welche positiven ganzen Zahlen A,R,S wird der
> Ausdruck
> [mm]A^2(R+S)^2+4AR(R-S+RS)[/mm]
> ein vollständiges Quadrat?
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> Schaut so nach Radikand der quadr. Gleichung
>
> [mm]AR*x^2 - A*(R+S)*x -(R-S+RS) = 0[/mm]
>
> aber das hat mir bis jetzt auch noch nicht weitergeholfen.
[mm] (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 [/mm] ist ein vollständiges Quadrat. Du musst obigen Ausdruck damit vergleichen. Dann entspricht:
(1) [mm] a^2 \hat= A^2(R+S)^2 [/mm] (was entspricht nun a?)
(2) [mm] 2ab+b^2 \hat= [/mm] 4AR(R-S+RS)
Bilde hierzu aus (1) a, dann 2 a und schaue, welcher Teilausdruck(summand) aus (2) den Faktor 2a hat. Der Restfaktor dazu ist b. Wenn du b gefunden hast, schreibe [mm] b^2 [/mm] auf.
Beispiel: Wann ist [mm] 25x^2+100kx [/mm] + 90k+30 ein vollständiges Quadrat?
[mm] a^2=25x^2, [/mm] also a = 5x und 2a = 10x. Das finden wir in 100kx wieder: 100kx=10x*10k. Also ist b=10k.
Nochmals das Zwischenergebnis: [mm] a^2+2ab [/mm] = 25 [mm] x^2+2*5x*10k.
[/mm]
nun bleibt noch 90k+30 übrig, und das müsste das fehlende [mm] b^2 [/mm] sein.
Weil b=10 k ist, muss andererseits [mm] b^2=100k [/mm] sein. Somit wäre
100k=90k+30 und damit 10k = 30, also k=3.
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Noch ein Tipp: 4AR(R-S+RS) = 4AR(R+S-2S+RS)=4AR(R+S)+4AR(-2S+RS)
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:27 So 02.06.2013 | | Autor: | wauwau |
Danke für den Hinweis.
Deine Methode ist zwar hinreichend eine Lösung zu finden aber nicht notwendig dafür alle Lösungen zu finden.
(Bei deinem Beispiel hat sich auch noch ein kleiner Rechenfehler eingeschlichen [mm] $b^2$ [/mm] ist nicht $100k$ sondern [mm] $100k^2$ [/mm] sein, was dann aber zu keiner ganzzahligen Lösung führt!)
Dein Beispiel hat aber viele Lösungen für (x,k)
z.b.: (1,143),(15,283),(61,63).....
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Di 04.06.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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