vollständiger Metrischer Raum < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:02 Di 19.10.2010 | | Autor: | Bodo0686 |
| Aufgabe | | Gegeben sei [mm] d(x,y):=|\frac{x}{1+|x|}-\frac{y}{1+|y|}|. [/mm] Ist [mm] \IR [/mm] bzgl. dieser Metrik vollständig? |
Hallo,
also vollständig heißt ja:
[mm] \forall \varepsilon [/mm] >0 ex. ein n [mm] \in \IN [/mm] sodass, [mm] \forall [/mm] m,n > N [mm] d(x_n,x_m)<\varepsilon [/mm] ist.
Kann ich jetzt folgendes machen?
[mm] |\frac{x_n}{1+|x_n|}-\frac{x_m}{1+|x_m|}| [/mm] = ...
nun fehlt mir eine passende Idee... Könnt ihr mir weiterhelfen? Danke
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:39 Mi 20.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben sei [mm]d(x,y):=|\frac{x}{1+|x|}-\frac{y}{1+|y|}|.[/mm] Ist
> [mm]\IR[/mm] bzgl. dieser Metrik vollständig?
> Hallo,
>
> also vollständig heißt ja:
>
> [mm]\forall \varepsilon[/mm] >0 ex. ein n [mm]\in \IN[/mm] sodass, [mm]\forall[/mm]
> m,n > N [mm]d(x_n,x_m)<\varepsilon[/mm] ist.
Nein, das heißt es nicht.
Definitionen:
1. Ist [mm] (x_n) [/mm] eine Folge in einem metr. Raum (X,d), so heißt [mm] (x_n) [/mm] eine Cauchyfolge : [mm] \gdw
[/mm]
[mm]\forall \varepsilon[/mm] >0 ex. ein N [mm]\in \IN[/mm] sodass, [mm]\forall[/mm] m,n > N: [mm]d(x_n,x_m)<\varepsilon[/mm].
2. (X,d) heißt vollständig, wenn jede Cauchy folge in X konvergent ist.
So, Du sollst nun entscheiden, ob [mm] \IR [/mm] mit der Metrik
$ [mm] d(x,y):=|\frac{x}{1+|x|}-\frac{y}{1+|y|}|. [/mm] $
ein vollständiger metr. Raum ist.
FRED
> Kann ich jetzt folgendes machen?
>
> [mm]|\frac{x_n}{1+|x_n|}-\frac{x_m}{1+|x_m|}|[/mm] = ...
>
> nun fehlt mir eine passende Idee... Könnt ihr mir
> weiterhelfen? Danke
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