vollständige,orthonorm. Basis < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:59 Mi 02.04.2008 | | Autor: | hayabusa |
| Aufgabe | Gegeben sind zwei [mm] 3\times3 [/mm] Matrizen [mm] A=\pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 1 \\ }, B=\pmat{1 & 0 & 1\\0 & 3 & 0\\ 1& 0& 1}. [/mm] Welche Matrix hat eine vollständige, orthonormale Basis von Eigenvektoren? Warum ist das so?
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Ich habe zunächst die normierten Eigenvektoren der Matrizen berechnet:
Matrix A : [mm] \vec{x}_1= \vektor{0 \\ 1\\ 0}, \vec{x}_2=\vektor{1\\0\\0}
[/mm]
Matrix B : [mm] \vec{x}_1= \vektor{0 \\ 1\\ 0},\vec{x}_2= \bruch{1}{\wurzel{2}}\vektor{-1 \\ 0\\ 1},\vec{x}_3=\bruch{1}{\wurzel{2}}\vektor{1 \\ 0\\ 1}
[/mm]
Meine Frage:
Was ist eine vollständige, orthonormale Basis?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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> Gegeben sind zwei [mm]3\times3[/mm] Matrizen [mm]A=\pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 1 \\ }, B=\pmat{1 & 0 & 1\\0 & 3 & 0\\ 1& 0& 1}.[/mm]
> Welche Matrix hat eine vollständige, orthonormale Basis von
> Eigenvektoren? Warum ist das so?
>
> Ich habe zunächst die normierten Eigenvektoren der Matrizen
> berechnet:
> Matrix A : [mm]\vec{x}_1= \vektor{0 \\ 1\\ 0}, \vec{x}_2=\vektor{1\\0\\0}[/mm]
>
> Matrix B : [mm]\vec{x}_1= \vektor{0 \\ 1\\ 0},\vec{x}_2= \bruch{1}{\wurzel{2}}\vektor{-1 \\ 0\\ 1},\vec{x}_3=\bruch{1}{\wurzel{2}}\vektor{1 \\ 0\\ 1}[/mm]
>
> Meine Frage:
> Was ist eine vollständige, orthonormale Basis?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Es ist hier gemeint, welche Matrix so ist, daß es eine ONB vom [mm] \IR^3 [/mm] gibt, welche vollständig aus Eigenvektoren der Matrix besteht.
Da Deine erste nur zwei Eigenvektoren hat, kann die nicht mit sowas dienen.
Aber die zweite.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:10 Mi 02.04.2008 | | Autor: | hayabusa |
Hallo Angela ,
danke für deinen Beitrag.
Wenn ich dich richtig verstehe, bezieht sich das Wort "vollständig" nicht auf den Vektorraum [mm] \IR^3, [/mm] sondern darauf, dass die Basis des [mm] \IR^3 [/mm] nur aus den orthonormalen Eigenvektoren der Matrix B besteht.
Wieso suchen wir aber eine Basis des [mm] \IR^3 [/mm] und nicht des [mm] \IR^2? [/mm] Liegt es an der Größe der Matrizen?
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Hallo hayabusa,
> Hallo Angela ,
>
> danke für deinen Beitrag.
>
> Wenn ich dich richtig verstehe, bezieht sich das Wort
> "vollständig" nicht auf den Vektorraum [mm]\IR^3,[/mm] sondern
> darauf, dass die Basis des [mm]\IR^3[/mm] nur aus den
> orthonormalen Eigenvektoren der Matrix B besteht.
Genauer betrachtet sind das die Eigenvektoren 1. Stufe.
Es gibt aber noch den Eigenvektor 2. Stufe zum Eigenwert 1 der Matrix A:
[mm]\left(A-I\right)*e_{12}=\pmat{1 \\ 0 \\ 0}[/mm]
[mm]e_{12}=\pmat{0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
Dieser bildet mit den beiden anderen Eigenvektoren 1. Stufe auch eine orthonormale Basis.
Ein Satz aus der linearen Algebra besagt:
Hat eine quadratische Matrix verschiedene Eigenwerte der Vielfachheit 1, so sind deren Eigenvektoren orthogonal.
>
> Wieso suchen wir aber eine Basis des [mm]\IR^3[/mm] und nicht des
> [mm]\IR^2?[/mm] Liegt es an der Größe der Matrizen?
>
Ja, das hängt damit zusammen.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:28 Do 03.04.2008 | | Autor: | hayabusa |
Hallo MathePower,
danke für deine Antwort.
Ich habe trotzdem noch eine Frage. Der Vektor [mm] \vec{e}_{12}=\pmat{0\\0\\1}
[/mm]
soll ein Eigenvektor 2.Stufe sein.
Aber müssen Eigenvektoren nicht die folgende Gleichung erfüllen: [mm] A\vec{x}=\lambda\vec{x}. [/mm] Das wäre beim Vektor [mm] \vec{e}_{12} [/mm] nicht der Fall.
Meine Rechnung:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 0\\0 & 0& 1}\vec{e}_{12}=\pmat{1\\0\\1}=1\pmat{1\\0\\1}\not=1\vec{e}_{12}
[/mm]
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> Der Vektor
> [mm]\vec{e}_{12}=\pmat{0\\0\\1}[/mm]
> soll ein Eigenvektor 2.Stufe sein.
> Aber müssen Eigenvektoren nicht die folgende Gleichung
> erfüllen: [mm]A\vec{x}=\lambda\vec{x}.[/mm] Das wäre beim Vektor
> [mm]\vec{e}_{12}[/mm] nicht der Fall.
Hallo,
richtig.
Ein Eigenvektor ist der Vektor [mm] {e}_{12} [/mm] nicht.
MathePower schrieb ja auch "Eigenvektor 2.Stufe", ich kenne dafür die Bezeichnung "Hauptvektor 2.Stufe".
Das sind solche Vektoren [mm] e\not=0, [/mm] für die [mm] (A-\lambda [/mm] E)^2e=0 und [mm] (A-\lambda E)^1e\not=0 [/mm] (also kein Eigenvektor) ist. (Hauptvektoren anderer Stufen entsprechend)
Diese Hauptvektoren höherer Stufen als 1 benötigt man später beim Aufbau einer Jordanbasis.
Für Deine Aufgabe sind nur Eigenvektoren (1.Stufe) gefragt,
Daß es zu Deiner 2. Matrix eine Basis aus orthogonalen Eigenvektoren gibt, kannst Du wissen, ohne die Eigenvektoren auszurechnen:
die Matrix ist symmetrisch und ihre Eigenwerte sind paarweise verschieden ==> die Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal.
Gruß v. Angela
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> Ein Satz aus der linearen Algebra besagt:
>
> Hat eine quadratische Matrix verschiedene Eigenwerte der
> Vielfachheit 1, so sind deren Eigenvektoren orthogonal.
Hallo,
Du wolltest hier gewiß "symmetrisch" schreiben.
Gruß v. Angela
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