vollständige induktion ....... < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:36 So 12.12.2004 | | Autor: | Tequila |
hi
ich glaub das thema wurde echt schon tausendmal durchgekaut aber ich komm einfach nicht weiter :(
die aufgabe ist folgende
[mm] \summe_{i=0}^{n} i^3 [/mm] = 1/4 n² (n+1)²
wenn ich die vollständige induktion anwende (hoffentlich richtig !)
dann komme ich später auf folgendes:
n³+1 = 1/4 ( [mm] n^4 [/mm] + 6n³ + 13n² + 12n + 4 )
nun weiss ich nicht mehr weiter !
kann auch sein das das total falsch ist
falls ja bitte nen lösungsweg von anfang an angeben
wäre sehr nett
danke im voraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:07 Mo 13.12.2004 | | Autor: | Tequila |
danke erstmal für die antwort und das willkommen heißen ;)
ich hoffe in zukunft auch leuten hier helfen zu können aber erstmal muss ichs ja selber drauf haben :D
was ich nicht ganz verstehe:
ab wann gilt die gleichung als bewiesen ??
also wie weit muss man den rechten term aufösen, ausklammern etc.
ich mache mal ein bespiel aus unserem mathe script was ich auch schon ein wenig komisch fand:
[mm] \summe_{i=1}^{n} i [/mm] = [mm] \bruch{ n ( n + 1 ) }{2} [/mm]
den zwischenschritt erspar ich mir
am ende haben wir dann da stehen:
[mm] \summe_{i=1}^{n} i + (n+1) [/mm] = [mm] \bruch{ ( n + 1 ) ( n + 2 ) }{2} [/mm]
wieso ist ab da schon die gleichung bewiesen ?? versteh ich einfach nicht :(
klar könnte man ne zahl einsetzen und dann stimmts aber das könnte man ja auch schon direkt am anfang wenn man einfach n+1 immer rechnet ....
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Die Vollst. Ind. setzt sich ja zusammen aus:
(Ind.anfang): zeige, dass die behauptete Gleichung (oder was auch immer) für den ersten erlaubten Wert gilt (wenn's also heißt: "zeige, dass *** für [mm]n \in \IN[/mm] gilt", dann eben Ind.anf. mit n=1).
(Ind.voraussetzung): wir gehen davon aus, dass die Behauptung für ein bel. [mm]n \in \IN[/mm] gilt, also in deinem Beispiel:
wir behaupten, dass gilt: [mm]\summe_{i=1}^{n} i = \bruch{ n ( n + 1 ) }{2}[/mm]
(Ind.schluß): (auch manchmal "Ind.schritt" genannt): ausgehend von unserer Ind.vor., dass die Behauptung gilt für n, wollen wir jetzt zeigen, dass sie für n+1 gilt. D.h.: wir gehen in unserer Summe "einen Schritt weiter" und zeigen, dass sich das mit der Formel berechnen lässt, wenn wir dort einfach n+1 statt n einsetzen.
Bei deinem Beispiel: [mm]\summe_{i=1}^{n+1} i[/mm] lässt sich doch auf 2 Arten berechnen.
Erstens: indem man einfach ausgeht von der Summe [mm]\summe_{i=1}^{n} i[/mm], und dort einfach die letzte, noch fehlende Zahl addiert - nämlich n+1.
Zweitens: wenn die geg. Formel wirklich stimmt, dann müsste man dort ja einfach n+1 einsetzen können, und hätte die Summe der ersten n+1 Zahlen.
Und das, was als Formel bei meinem "Erstens" dasteht, müsste dann also dasselbe sein, wie das, was ich bei "Zweitens" als Formel dastehen habe.
Kleiner Tipp noch: bei der V.I. weiß man ja schon vorher, was man beim Ind.schluß erwartet: nämlich die Formel der Aufgabenstellung in der (n+1)-Version. Die kannst du dir irgendwo hinschreiben, und "darauf hinarbeiten".
In deinem Skript-Beispiel heißt doch die Behauptung: [mm]\summe_{i=1}^{n} i=\bruch{ n ( n + 1 ) }{2}[/mm]
Also erwarten wir beim Ind.schluß: [mm]\summe_{i=1}^{n+1} i=\bruch{(n+1) ( (n+1) + 1 ) }{2}[/mm].
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