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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:02 Fr 26.09.2008 | | Autor: | noobo2 |
Hallo,
ich hab eine frage zu einem beweis, den ich mit der vollsträndigen induktion durch geführt habe:
[mm] (2a-1)^{n}-1=2p [/mm] (also eine gerade zahl) es gilt [mm] a\in\IN
[/mm]
ich habe bewiese:
[mm] (2a-1)^{n+1}-1=2p [/mm]
[mm] (2a-1)^{n}*(2a-1)^{1}-1=2p [/mm]
[mm] ((2a-1)^{1}-1)*(2a-1)^{n}+(2a-1)^{n}-1=2p
[/mm]
nun die zerlegung:
[mm] (2a-1)^{n}-1=2p [/mm] (siehe anfangsausdruck)
[mm] ((2a-1)^{1}-1)*(2a-1)^{n} [/mm] =
[mm] ((2a-2)^{1})*(2a-1)^{n} [/mm] muss auch gerade sein, da der erste fakot imme rgerad eist und eine gerade mit eine rungeraden zahl multipliziert immer eine gerade gibt..
würde dies als beweis genügen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:15 Fr 26.09.2008 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> ich hab eine frage zu einem beweis, den ich mit der
> vollsträndigen induktion durch geführt habe:
> [mm](2a-1)^{n}-1=2p[/mm] (also eine gerade zahl) es gilt [mm]a\in\IN[/mm]
>
> ich habe bewiese:
> [mm](2a-1)^{n+1}-1=2p[/mm]
> [mm](2a-1)^{n}*(2a-1)^{1}-1=2p[/mm]
> [mm]((2a-1)^{1}-1)*(2a-1)^{n}+(2a-1)^{n}-1=2p[/mm]
> nun die zerlegung:
> [mm](2a-1)^{n}-1=2p[/mm] (siehe anfangsausdruck)
> [mm]((2a-1)^{1}-1)*(2a-1)^{n}[/mm] =
> [mm]((2a-2)^{1})*(2a-1)^{n}[/mm] muss auch gerade sein, da der
> erste fakot imme rgerad eist und eine gerade mit eine
> rungeraden zahl multipliziert immer eine gerade gibt..
> würde dies als beweis genügen?
Auf keinen Fall !! Da geht ja einiges durcheinander. Führe einen ordentlchen Induktionsbeweis:
Induktionsanfang: Zeige , dass die Behauptung für n = 1 richtig ist.
Induktionsvoraussetzung: Es sie n [mm] \in \IN [/mm] und [mm] (2a-1)^{n}-1 [/mm] gerade.
Induktionsschluß:( Jetzt bist Du dran) Zeige: [mm] (2a-1)^{n+1}-1 [/mm] ist gerade
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:24 Fr 26.09.2008 | | Autor: | noobo2 |
ich hab den anfang absichtlich weggelassen, dass ist doch hier jedm klar oder?
ich wollte nru wissen ob die idee zum induktionsschluss in ordnung ist
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:27 Fr 26.09.2008 | | Autor: | fred97 |
> ich hab den anfang absichtlich weggelassen, dass ist doch
> hier jedm klar oder?
So,so ! Ich kenne viele, denen im Bereich Induktion gar nichts klar ist.
> ich wollte nru wissen ob die idee zum induktionsschluss in
> ordnung ist
Nein
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:29 Fr 26.09.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo noobo,
> Hallo,
> ich hab eine frage zu einem beweis, den ich mit der
> vollsträndigen induktion durch geführt habe:
> [mm](2a-1)^{n}-1=2p[/mm] (also eine gerade zahl) es gilt [mm]a\in\IN[/mm]
>
> ich habe bewiese:
> [mm](2a-1)^{n+1}-1=2p[/mm]
> [mm](2a-1)^{n}*(2a-1)^{1}-1=2p[/mm]
> [mm]((2a-1)^{1}-1)*(2a-1)^{n}+(2a-1)^{n}-1=2p[/mm]
> nun die zerlegung:
> [mm](2a-1)^{n}-1=2p[/mm] (siehe anfangsausdruck)
> [mm]((2a-1)^{1}-1)*(2a-1)^{n}[/mm] =
> [mm]((2a-2)^{1})*(2a-1)^{n}[/mm] muss auch gerade sein, da der
> erste fakot imme rgerad eist und eine gerade mit eine
> rungeraden zahl multipliziert immer eine gerade gibt..
> würde dies als beweis genügen?
ich habe nur mal flüchtig drübergeschaut, aber Fred hat ja schon was dazu geschrieben. Was ich nur sagen wollte:
Wenn Du die I.V. [mm] $(2a-1)^{n}-1=2p$ [/mm] hast und nun zeigen sollst, dass dann im. I.S. $n [mm] \mapsto [/mm] n+1$ dann auch [mm] $(2a-1)^n-1$ [/mm] gerade ist, so kannst Du nicht mehr:
zu zeigen: [mm] $(2a-1)^{n+1}-1=2p$ [/mm] schreiben, denn das [mm] $\black{p}$ [/mm] verwendest Du ja schon in der I.V. (die ja im I.S. auch eingeht); bei Deiner Notation hätte das [mm] $\black{p}$ [/mm] also mehrere Bedeutungen...
Schreibe meinetwegen:
zu zeigen: [mm] $(2a-1)^{n+1}-1=2q$ [/mm] oder ähnliches...
Beispiel:
Wenn Du [mm] $\black{a}=2$ [/mm] und [mm] $\black{n}=2$ [/mm] hast, so ist [mm] $(2a-1)^2-1=8=2*4$, [/mm] hier wäre also [mm] $\black{p}=4$. [/mm]
Wenn ich dann [mm] $(2a-1)^3-1$ [/mm] berechne, erhalte ich: [mm] $(2a-1)^3-1=26=2*13$. [/mm] Bei Deiner Notation wäre also [mm] $\black{p}=4$ [/mm] und [mm] $\black{p}=13$, [/mm] das ist schlecht.
Wenn Du es so notierst, wie ich es vorgeschlagen habe:
[mm] $\black{p}=4$ [/mm] und [mm] $\black{q}=13$, [/mm] das ist okay.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:36 Fr 26.09.2008 | | Autor: | noobo2 |
hallo,
gut ich habe keinen induktionsanfang und keine richtige notation, aber wa ssoll denn an de ridee falsch sein?
5a= 4a+a und daher kann cih doch so vorgehen oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:14 Fr 26.09.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> hallo,
> gut ich habe keinen induktionsanfang und keine richtige
> notation, aber wa ssoll denn an de ridee falsch sein?
> 5a= 4a+a und daher kann cih doch so vorgehen oder?
ich schreibe es halt mal sauber auf, dann gucken wir:
Sei $a [mm] \in \IN$ [/mm] fest.
Behauptung:
Dann ist [mm] $(2a-1)^n-1$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] gerade, also:
Zu jedem $n [mm] \in \IN$ [/mm] existiert ein $p [mm] \in \IN$ [/mm] mit [mm] $(2a-1)^n-1=2p$.
[/mm]
Induktionsbeweis:
(Induktionsanfang lasse ich jetzt auch mal weg).
I.V.:
Zu $n [mm] \in \IN$ [/mm] existiert ein $p [mm] \in \IN$ [/mm] mit [mm] $(2a-1)^n-1=p$.
[/mm]
I.S.:
zu zeigen:
$n [mm] \mapsto n+1\,:$ [/mm] Zu [mm] $\black{n+1}$ [/mm] existiert ein $q [mm] \in \IN$ [/mm] mit [mm] $(2a-1)^{n+1}-1=2q$.
[/mm]
Beweis zum I.S.:
$ [mm] (2a-1)^{n+1}-1=2q [/mm] $
[mm] $\gdw$
[/mm]
$ [mm] (2a-1)^{n}\cdot{}(2a-1)^{1}-1=2q [/mm] $
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $(\star)$ [/mm] $ [mm] ((2a-1)^{1}-1)\cdot{}(2a-1)^{n}+(2a-1)^{n}-1=2q [/mm] $
Das sieht bis hierhin doch gut aus 
Auch der Rest Deiner Argumentation scheint schlüssig (Du sagst ja, dass linkerhand die Summer zweier gerader natürlicher Zahlen steht und folglich diese Summe durch [mm] $\black{2}$ [/mm] teilbar sein muss, also rechterhand Dein [mm] $\black{p}$ [/mm] (im ersten Fragepost), welches Du (dort) besser [mm] $\black{q}$ [/mm] genannt hättest, auch [mm] $\in \IN$ [/mm] sein muss).
Ich schreibe es jetzt halt mal nicht in Worten, sondern:
[mm] $(\star)$ $\gdw$ $2*(2a-1)^n+((2a-1)^n-1)=2q$
[/mm]
Nach I.V. gilt weiter:
[mm] $2*(2a-1)^n+((2a-1)^n-1)=2*(2a-1)^n+2p$, [/mm] also:
[mm] $2*(2a-1)^n+((2a-1)^n-1)=2q$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $2*(2a-1)^n+2p=2q$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $q=p+(2a-1)^n$
[/mm]
Jetzt sollte man noch kurz erwähnen, warum $q [mm] \in \IN$...
[/mm]
Also ich finde die Beweisidee an und für sich in Ordnung, allerdings sind Induktionsbeweise wirklich meist so einfach, dass man auch alles direkt sauber hinschreiben sollte. Als Beweisskizze würde ich das - was Du im ersten Fragepost geschrieben hast - akzeptieren, als Beweis selber würde ich manches ankreiden (alleine schon das Fehlen von [mm] $\gdw$-Zeichen [/mm] in der Rechnung, die Doppeldeutigkeit von [mm] $\black{p}$ [/mm] etc.).
(Und normalerweise würde ich, wenn ich den Beweis selber schreiben würde, auch so anfangen (im I.S.):
Wir setzen [mm] $q:=p+(2a-1)^n$. [/mm] Dann ist $q [mm] \in \IN$, [/mm] weil... Wir zeigen, dass [mm] $(2a-1)^{n+1}-1=2q$:
[/mm]
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)
Gruß,
Marcel
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