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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:55 So 05.11.2006 | | Autor: | alex1988 |
| Aufgabe 1 | Aufgabe 1: 1+2+3.. n = 1/2 n (n+1)
Aufgabe 2: Zeigen sie, dass für alle n N mit n >= 2 und jedes x R mit x > -1 und x ungleich 0 gilt : (1 + x [mm] )^n [/mm] > 1 + n * x
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| Aufgabe 2 | Aufgabe1: 1+2+3+.... n = 1/2n * ( n + 1 )
Aufgabe2: Zeigen sie, dass für alle n N mit n => 2 und jedes x R mit x > -1 und x (ungleich) 0 gilt:
[mm] (1+x)^n [/mm] > 1+ n *x ( ^n = Hoch n ) |
1+2..n+n+1 = 1/2 * ( n + 1 )
= 1/2 * ( n + 1 ) + (n+1)
so weit ist es mir klar nur beim zusammenfassen habe ich große schwierigkeiten, aus dem lösungsheft weiß ich dass der nächste schritt:
1/2 ( n(n+1) + 2 (n+1)) ist.
Und als lösung kommt dann: 1/2((n+2) ( n+1)) heraus, was raus kommen muss kann ich nachvollziehen nur wie es zusammengefasst wird ist mir schleierhaft
Zu Aufgabe 2:
für n = 2 lässt es sich ja beweisen da durch binomische formel: 1 + 2x + x² > 1 + 2x raus kommt
Nun muss man es ja für k N beweisen also:
( 1+x [mm] )^k [/mm] > 1 + k * x und es muss ( 1+x [mm] )^k [/mm] + 1 > 1+ ( k+1 )*x gezeigt werden
aus ( 1 + k [mm] )^k+1 [/mm] ergibt sich dann ( 1+x ) * ( 1+ x [mm] )^k [/mm] > "( 1+x )" *( 1 + k *x)
nun versteh ich nicht wo kommt das ( 1 + x ) her ( das dass ich in " " gesetzt habe )
der nächste schritt ist dann
= 1 + (k + 1 )x + kx² > 1+ ( k+1) * x
ich versteh wieder nicht wie es aufgelöst wurde, was ist mit dem hoch k passiert ( 1+x [mm] )^k [/mm] irgendwie blick ich am schluss garnicht mehr durch
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Aufgabe 1: 1+2+3.. n = 1/2 n (n+1)
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> Aufgabe 2: Zeigen sie, dass für alle n N mit n >= 2 und
> jedes x R mit x > -1 und x ungleich 0 gilt : (1 + x [mm])^n[/mm]
> > 1 + n * x
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Diese Dingelchen werdern per vollständige  Induktion bewiesen, es ist mir nicht ganz klar, ob Dir das klar ist...
Ich gehe nun davon aus, daß Du weißt, wie vollständige Induktion funktioniert, ansonsten:schlau machen oder nachfragen.
Zu1)
Im Induktionsschritt ist zu zeigen, daß [mm] 1+2+...+n+(n+1)=\bruch{1}{2}(n+1)((n+1)+1) [/mm] ist, also = [mm] \bruch{1}{2}(n+1)(n+2)
[/mm]
Starte mit
1+2+...+n+(n+1)
= (1+2+...+n)+(n+1)
In der ersten Klammer kannst Du nun die Induktionsvoraussetzung einsetzen, danach klammerst Du (n+1) aus. Anschließend nur noch eine zielgerichtete Umformung. Fertig.
zu 2) Das ist die Bernoulli-Ungleichung.
Gezeigt werden muß im Induktionsschritt: [mm] (1+x)^{k+1}>1+(k+1)x
[/mm]
Es ist [mm] (1+x)^{k+1}=(1+x)^k(1+x) [/mm] , das ist Rechnen mit Potenzen.
[mm] (1+x)^k [/mm] kannst Du nun mit der Induktionsvoraussetzung abschätzen
und Du erhältst
>(1+x)(1+kx)= [mm] 1+kx+x+x^2 [/mm] = 1+(k+1)x [mm] +x^2
[/mm]
[mm] x^2 [/mm] ist immer größer als 0, also ist das Ganze
> 1+(k+1)x
Wesentlich ist bei beiden Aufgaben das verständnis der Induktion und daraus folgend das Einsetzen der Induktionsvoraussetzung.
Gruß v. Angela
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