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vollständige Induktion II: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:44 Mo 01.09.2008
Autor: isabell_88

Aufgabe
betrachte die summe [mm] s_{n}=2+4+6+...+2*n [/mm]   d.h. der ersten n geraden zahlen.

a) berechne den allgemein gültigen ausdruck für [mm] s_{n} [/mm]
b) beweise die vermutung durch vollständige induktion


a) [mm] s_{1}=2 [/mm]
    [mm] s_{2}=6 [/mm]
    [mm] s_{3}=12 [/mm]

der allgemein gültige ausdruck ist: [mm] s_{n}= [/mm] n(n+1)


b)
I. A(1) d.h. [mm] s_{1}=1*(1+1) [/mm] =2
Bedingung 1 erfüllt.

II. A(k) d.h. [mm] s_{k}=k*(k+1) [/mm]
zu zeigen: A(k+1)=(k+1)(k+2)
                 [mm] =k^{2}+2k+k+2 [/mm]
                 [mm] =k^{2}+3k+2 [/mm]

Nachweis:?

ich habe keine ahnung wie ich den nachweis zu führen habe und bräuchte bitte dringend hilfe.

        
Bezug
vollständige Induktion II: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:48 Mo 01.09.2008
Autor: M.Rex

Hallo

> betrachte die summe [mm]s_{n}=2+4+6+...+2*n[/mm]   d.h. der ersten n
> geraden zahlen.
>  
> a) berechne den allgemein gültigen ausdruck für [mm]s_{n}[/mm]
>  b) beweise die vermutung durch vollständige induktion
>  
>
> a) [mm]s_{1}=2[/mm]
>      [mm]s_{2}=6[/mm]
>      [mm]s_{3}=12[/mm]
>  
> der allgemein gültige ausdruck ist: [mm]s_{n}=[/mm] n(n+1)

Das kann passen

>  
>
> b)
>  I. A(1) d.h. [mm]s_{1}=1*(1+1)[/mm] =2
>   Bedingung 1 erfüllt.
>  
> II. A(k) d.h. [mm]s_{k}=k*(k+1)[/mm]
>  zu zeigen: A(k+1)=(k+1)(k+2)
>                   [mm]=k^{2}+2k+k+2[/mm]
>                   [mm]=k^{2}+3k+2[/mm]
>  
> Nachweis:?
>
> ich habe keine ahnung wie ich den nachweis zu führen habe
> und bräuchte bitte dringend hilfe.


Nicht ganz:

Du hast:

[mm] \green{2+4+6+...+2n}+2(n+1) [/mm]
Nach Ind-Vorauss. ist der grrüne Teil ja n(n+1), also setze das mal ein:
Somit wird:

[mm] \green{2+4+6+...+2n}+2(n+1) [/mm]
[mm] =\green{n(n+1)}+2(n+1) [/mm]
=...

Du solltest auf (n+1)((n+1)+1) kommen.

Marius

Bezug
                
Bezug
vollständige Induktion II: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:03 Mo 01.09.2008
Autor: isabell_88

vielen dank für deine hilfe

Bezug
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