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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:38 Di 11.10.2005 | | Autor: | micha26 |
Hallo, ich habe ein riesiges Problem mit vollständiger Induktion. Ich glaub ich hab begriffen, worum es geht finde aber keinen Lösungsansatz. ich soll durch vollst. Ind. beweisen, dass die Gleichung [mm] x^2+y^2=z^n [/mm] für jede fest gewählte Zahl n unendlich viele Lösungen besitzt. Wobei alle N sind.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:38 Di 11.10.2005 | | Autor: | ZetaX |
Hallo micha26,
eine Möglichkeit wäre es, das ganze so anzugehen (und die Induktion ein wenig zu 'zerteilen'):
Man bemerkt sofort das es unendlich viele z gibt die Summe zweier Quadratzahlen sind.
Behauptung:
Ist $z$ Summe zweier Quadratzahlen, also [mm] $z=x^2+y^2$, [/mm] so ist auch [mm] $z^n$ [/mm] für alle $n$ von der Form [mm] $z^n=a^2+b^2$.
[/mm]
Der Beweis läuft nun auf eine Induktion nach $n$ hinaus. Dabei wird benutzt, dass wegen [mm] $(a^2+b^2)(c^2+d^2) [/mm] = [mm] (ac-bd)^2+(ad+bc)^2$ [/mm] das Produkt zweier Summen von je zwei Quadraten selbst wieder Produkt zweier Quadrate ist.
Bzw. etwas schöner und allgemeiner:
Man kann ja immer [mm] $x^2+y^2=(x+iy)(x-iy)=|x+iy|^2=z$ [/mm] schreiben. Multipliziert man nun zwei komplexe Zahlen mit ganzem Real- und Imaginärteil, so sind selbige auch beim Produkt wieder ganzzahlig.
Induktiv zeigt sich, dass die $n$-te Potenz einer solchen Zahl $x+iy$ auch wieder 'ganzzahlig' ist. Da der komplexe Betrag nun auch multiplikativ (und schon ganzzahlig) ist, folgt nun [mm] $z^n=(|x+iy|^2)^n=|(x+iy)^n|^2=|a+bi|^2=a^2+b^2$. [/mm] Wählt man nun $z$ mit genügend kleinem Argument [mm] ($0
Grüße,
Daniel
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