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vollständige Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:57 Mi 18.01.2012
Autor: Lu-

Aufgabe
[mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] a_n [/mm] - [mm] \frac{1}{2} [/mm] * [mm] a_n^{n+1} [/mm]
[mm] a_1 \in [/mm] (0,1/2)

ZuZeigen 0 [mm] \le a_n \le \frac{1}{2} [/mm]

I.Anfang n=1, 0 [mm] \le a_1 \le \frac{1}{2} [/mm]
n=2 [mm] a_2 =a_1 [/mm] - 1/2 [mm] a_1^2 [/mm]
[mm] a_2=a_1*(1-1/2 a_1) [/mm]
da 0 [mm] \le a_1 \le \frac{1}{2}ist [/mm] der rechte Term 3/4 [mm] \le 1-\frac{1}{2} a_1 \le [/mm] 1
-> 0 [mm] \le a_2 \le \frac{1}{2} [/mm]

I-Annahme 0 [mm] \le a_n \le \frac{1}{2} [/mm]
ZZ.: 0 [mm] \le a_{n+1} \le \frac{1}{2} [/mm]
0 [mm] \le a_n [/mm] - [mm] \frac{1}{2} [/mm] * [mm] a_n^{n+1} \le \frac{1}{2} [/mm]


Ich schaff es nicht die Annahme in den I.Schritt zu bringen.

        
Bezug
vollständige Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:13 Mi 18.01.2012
Autor: wieschoo


> [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]a_n[/mm] - [mm]\frac{1}{2}[/mm] * [mm]a_n^{n+1}[/mm]
>  [mm]a_1 \in[/mm] (0,1/2)

abgeschlossen oder offen?

>  
> ZuZeigen 0 [mm]\le a_n \le \frac{1}{2}[/mm]

Hier ist es ja wieder offen

>  I.Anfang n=1, 0 [mm]\le a_1 \le \frac{1}{2}[/mm]

Ja nach Aufgabe

>  
> n=2 [mm]a_2 =a_1[/mm] - 1/2 [mm]a_1^2[/mm]
>  [mm]a_2=a_1*(1-1/2 a_1)[/mm]
>  da 0 [mm]\le a_1 \le \frac{1}{2}ist[/mm] der

genauer
[mm]a_2=a_1(1-0.5a_1)<0.5(1-0.5*0)=1/2[/mm]
und
[mm]a_2=a_1(1-0.5a_1)>0*(\ldots)[/mm]

> rechte Term 3/4 [mm]\le 1-\frac{1}{2} a_1 \le[/mm] 1
>  -> 0 [mm]\le a_2 \le \frac{1}{2}[/mm]

???

>  
> I-Annahme 0 [mm]\le a_n \le \frac{1}{2}[/mm] [ok]
>  ZZ.: 0 [mm]\le a_{n+1} \le \frac{1}{2}[/mm] [ok]
>  
> 0 [mm]\le a_n[/mm] - [mm]\frac{1}{2}[/mm] * [mm]a_n^{n+1} \le \frac{1}{2}[/mm]
>  
>
> Ich schaff es nicht die Annahme in den I.Schritt zu
> bringen.

Genauso wie bei [mm]n=2\;[/mm]

[mm]a_{n+1}=a_n-0.5a_n^{n+1}=a_n(1-0.5a_n^n)\overbrace{<}^{a_n<0.5}0.5(1-0.5a_n^n)\overbrace{<}^{a_n>0}\ldots[/mm]

Versuch den Ausdruck so groß wie möglich zu machen, indem du [mm] $a_n$ [/mm] nach oben bzw. nach unten durch 1/2 bzw. 0 abschätzt.

Bezug
                
Bezug
vollständige Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:28 Mi 18.01.2012
Autor: Lu-


> genauer

$ [mm] a_2=a_1(1-0.5a_1)<0.5(1-0.5\cdot{}0)=1/2 [/mm] $

Warum kann [mm] a_1 [/mm] gleichzeitig in einen Bsp 0 und 0,5 sein? Es muss doch schon zweimal dass gleiche dastehen für [mm] a_1 [/mm] in einen Bsp.
Ich hätte einmal für beide [mm] a_1 [/mm] =0 einmal für beide [mm] a_1 [/mm] =1/2 eingesetzt.

Bei induktionsschluss wäre  mich jetzt noch eingefallen
[mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] a_n [/mm] * (1-0,5 [mm] a_n^n) [/mm]
[mm] a_n [/mm] laut Induktionsannahme >0
1- [mm] 0,5*a_n^n [/mm] -> wegen Induktionsannahme  > 0
[mm] ->a_n [/mm] * (1-0,5 [mm] a_n^n)=a_{n+1} [/mm]  >0

[mm] a_{n+1} [/mm] - 1/2 [mm] =a_n [/mm] -1/2 - 1/2 [mm] a_n^{n+1} [/mm]
wegen Induktionsannahme [mm] a_n [/mm] -1/2 [mm] \le [/mm] 0
wegen Induktionsannahme 1/2 [mm] a_n^{n+1} [/mm] > 0
neg - pos < 0 -> [mm] a_{n+1} [/mm] - 1/2< 0 <=> [mm] a_{n+1}< [/mm] 1/2

Bezug
                        
Bezug
vollständige Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:02 Do 19.01.2012
Autor: chrisno

Du musst abschätzen, was schlimmstenfalls passieren könnte. Wie groß kann der Ausdruck höchstens werden? Um das durchzuführen setzt Du da, wo mit zunehmendem [mm] $a_n$ [/mm] der Ausdruck größer wird, den größten Wert für [mm] $a_n$ [/mm] ein. An den Stellen, wo mit abnehmendem [mm] $a_n$ [/mm] der Ausdruck größer wird, setzt Du den kleinstmöglichen Wert für [mm] $a_n$ [/mm] ein. Du setzt also nicht einen Wert für [mm] $a_n$ [/mm] ein.

Bezug
                                
Bezug
vollständige Induktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:05 Do 19.01.2012
Autor: Lu-

Achso, okay das wusste ich nicht, dass es so funktioniert.
Vielen dank euch beiden.

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