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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:27 Sa 29.01.2011 | | Autor: | David90 |
| Aufgabe | Beweisen Sie durch vollständige Induktion: Für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt:
[mm] \summe_{k=o}^{n} \bruch{4k}{3^{k+1}}=1-\bruch{2n+3}{3^{n+1}} [/mm] |
Hi Leute,
ich versuch mich grad an ein paar Klausuraufgaben und ich hab ja auch die Lösungen dafür, aber mir sind da zwei Schritte im Induktionsschritt unerklärlich und zwar:
[mm] \summe_{k=o}^{n+1} \bruch{4k}{3^{k+1}}=
[/mm]
[mm] \summe_{k=o}^{n} \bruch{4k}{3^{k+1}}+\bruch{4(n+1)}{3^{n+2}} [/mm] (1) nach Induktionsvoraussetzung(siehe Ausgangsgleichung) =
[mm] 1-\bruch{2(n+1)+3}{3^{n+1}}+\bruch{4(n+1)}{3^{n+2}} [/mm] (2) =
[mm] 1-\bruch{3(2n+3)-4(n+1)}{3^{n+2}} [/mm] (3) ...
Ich versteh bei Schritt (1), wie man die Summe so umformen kann, dass nur noch über der Summe n steht.
Und zweitens versteh ich bei Schritt (3) wo das Minus vor der 4 herkommt und warum vor dem ersten Term plötzlich eine 3 vor der Klammer steht:(
Wär über ne Aufklärung sehr glücklich^^
Danke schon mal Im Voraus
Gruß David
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Hallo David,
ich nehme an, in Deiner Anfrage fehlt zweimal das Wort "nicht", ansonsten hätte sie sich ja schon erledigt. 
> Beweisen Sie durch vollständige Induktion: Für alle n [mm]\in \IN[/mm]
> gilt:
> [mm]\summe_{k=o}^{n} \bruch{4k}{3^{k+1}}=1-\bruch{2n+3}{3^{n+1}}[/mm]
>
> Hi Leute,
> ich versuch mich grad an ein paar Klausuraufgaben und ich
> hab ja auch die Lösungen dafür, aber mir sind da zwei
> Schritte im Induktionsschritt unerklärlich und zwar:
> [mm]\summe_{k=o}^{n+1} \bruch{4k}{3^{k+1}}=[/mm]
> [mm]\summe_{k=o}^{n} \bruch{4k}{3^{k+1}}+\bruch{4(n+1)}{3^{n+2}}[/mm]
> (1) nach Induktionsvoraussetzung(siehe Ausgangsgleichung)
> =
> [mm]1-\bruch{2(n+1)+3}{3^{n+1}}+\bruch{4(n+1)}{3^{n+2}}[/mm] (2)
> =
>
> [mm]1-\bruch{3(2n+3)-4(n+1)}{3^{n+2}}[/mm] (3) ...
>
> Ich versteh bei Schritt (1) nicht, wie man die Summe so umformen
> kann, dass nur noch über der Summe n steht.
(1) Da ist einfach das letzte Summationsglied aus der Summe herausgenommen worden und steht jetzt einzeln da.
(2) Induktionsvoraussetzung angewandt: Summe ersetzt.
> Und zweitens versteh ich bei Schritt (3) nicht,wo das Minus vor
> der 4 herkommt und warum vor dem ersten Term plötzlich
> eine 3 vor der Klammer steht:(
(3) Einfache Bruchrechnung: alles auf einen Hauptnenner. Dazu musste der erste Term mit 3 erweitert werden. Das Minus vor der 4 ist nötig, weil ja vor dem gesamten Bruch auch ein Minus steht und der zweite Bruch vorher ein "Plus" hatte. Damit er das behält ... minus mal minus ...
> Wär über ne Aufklärung sehr glücklich^^
> Danke schon mal Im Voraus
> Gruß David
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:41 Sa 29.01.2011 | | Autor: | David90 |
Achso verstehe^^ alles klar danke für die schnell Antwort:) und ja da hab ich zweimal vergessen "nicht" hinzuschreiben xD
Danke Danke
Gruß David
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