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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:19 Do 18.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Sei n [mm] \in \IN [/mm] und seien [mm] \lambda_{1},...., \lambda_{n} [/mm] paarweise verschiedene reelle Zahlen.Man beweise durch vollständige Induktion über n,dass die Menge [mm] \{f_{i}|1 \le i \le n\} [/mm] von Funktionen [mm] f_{i}:\IR-->\IR, x\mapsto e^{\lambda_{i}*x} [/mm] linear unabhängig ist.
Hinweis: Man verwende,dass die Ableitung eine lineare Abbildung ist,dass [mm] e^{\lambda*x} [/mm] für jedes [mm] \lambda \in \IR [/mm] differenzierbar ist und [mm] f_{i}'(x)=\lambda*e^{\lambda*x} [/mm] gilt.Dabei ist [mm] f_{i}' [/mm] die Ableitung von [mm] f_{i} [/mm] nach x. |
Hallo,
ich habe versucht das zu beweisen,aber bin nich so weit gekommen.Ich hoffe jemand kann mir weitehelfen.
Also wenn die Funktionen [mm] f_{i} [/mm] linear unabhängig sind,dann muss gelten:
[mm] r_{1}*e^{\lambda_{1}*x}+r_{2}*e^{\lambda_{2}*x}+...+r_{n}*e^{\lambda_{n}*x}=0 [/mm] --> [mm] r_{1}=r_{2}=...=r_{n}=0.
[/mm]
So,jetzt muss ich die vollständige Induktion über n machen,d.h. ich fange mit dem Induktionsanfang für n=1 an.
Mein Problem ist,dass ich nicht weiß,wie und wo ich jetzt dieses n=1 einsetze und wie ich das aufschreibe.
Muss ich für die [mm] r_{1},r_{2} [/mm] usw. die 1 einsetzen oder für die [mm] \lambda [/mm] ?
Und was bringt mir das für diese Aufgabe,dass die Ableitung eine lineare Abbildung ist und die restlichen Hinweise?
Vielen Dank
lg
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> Sei n [mm]\in \IN[/mm] und seien [mm]\lambda_{1},...., \lambda_{n}[/mm]
> paarweise verschiedene reelle Zahlen.Man beweise durch
> vollständige Induktion über n,dass die Menge [mm]\{f_{i}|1 \le i \le n\}[/mm]
> von Funktionen [mm]f_{i}:\IR-->\IR, x\mapsto e^{\lambda_{i}*x}[/mm]
> linear unabhängig ist.
>
> Hinweis: Man verwende,dass die Ableitung eine lineare
> Abbildung ist,dass [mm]e^{\lambda*x}[/mm] für jedes [mm]\lambda \in \IR[/mm]
> differenzierbar ist und [mm]f_{i}'(x)=\lambda*e^{\lambda*x}[/mm]
> gilt.Dabei ist [mm]f_{i}'[/mm] die Ableitung von [mm]f_{i}[/mm] nach x.
> Hallo,
>
> ich habe versucht das zu beweisen,aber bin nich so weit
> gekommen.
Hallo,
wir freuen uns hier ja immer schon, wenn jemand beginnt und seine Überlegungen und Probleme mitteilt.
> Ich hoffe jemand kann mir weitehelfen.
>
> Also wenn die Funktionen [mm]f_{i}[/mm] , i=1,...,n linear unabhängig sind,dann
> muss gelten:
[mm] r_1f_1+r_2f_2+...+r_nf_n=Nullfunktion [/mm] ==> [mm] r_1=...=r_n=0,
[/mm]
was gleichbedeutend ist mit
>
> [mm]r_{1}*e^{\lambda_{1}*x}+r_{2}*e^{\lambda_{2}*x}+...+r_{n}*e^{\lambda_{n}*x}=0[/mm] [mm] \quad \red{fuer \quad alle\quad x\in \IR}
[/mm]
> --> [mm]r_{1}=r_{2}=...=r_{n}=0.[/mm]
>
> So,jetzt muss ich die vollständige Induktion über n
> machen,d.h. ich fange mit dem Induktionsanfang für n=1
> an.
> Mein Problem ist,dass ich nicht weiß,wie und wo ich jetzt
> dieses n=1 einsetze und wie ich das aufschreibe.
> Muss ich für die [mm]r_{1},r_{2}[/mm] usw. die 1 einsetzen oder
> für die [mm]\lambda[/mm] ?
Die Behauptung ist ja, daß für jedes n und paarweise verschiedene [mm] \lambda_1,...,\lambda_n [/mm] die Funktionen [mm] f_1,...,f_n [/mm] linear unabhängig sind.
Wenn Du nun einen Induktionsanfang mit n=1 machen möchtest, so zeigst Du hier, daß [mm] f_1(x):=e^{\lambda_1x} [/mm] linear unabhängig ist,
daß also aus [mm] r_1f_1=Nullfunktion [/mm] folgt, daß [mm] r_1=0.
[/mm]
Sei [mm] r_1f_1=Nullfunktion.
[/mm]
Dann gilt für alle [mm] x\in \IR r_1e^{\lambda_1x}=0
[/mm]
==> [mm] r_1=0 [/mm] . (Überlege Dir, warum.)
Nun versuche mal ein bißchen weiter.
> Und was bringt mir das für diese Aufgabe,dass die
> Ableitung eine lineare Abbildung ist und die restlichen
> Hinweise?
Die Frage, was die Hinweise gebracht haben, sollte man vielleicht lieber am Ende stellen.
Vielleicht brauchst Du sie ja auch nicht.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:39 Fr 19.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Wenn Du nun einen Induktionsanfang mit n=1 machen
> möchtest, so zeigst Du hier, daß [mm]f_1(x):=e^{\lambda_1x}[/mm]
> linear unabhängig ist,
Okay,ich zeige das,aber ich verstehe eine Sache nicht.Wir haben immer von der linearen (Un)abhängigkeit von zwei oder mehreren Vektoren oder hier Funktionen gesprochen.Wie kann eine einzige Funktion linear unabhängig sein,das ergibt für mich keinen Sinn.Wie kann man sich das vorstellen oder klar machen?
> daß also aus [mm]r_1f_1=Nullfunktion[/mm] folgt, daß [mm]r_1=0.[/mm]
>
> Sei [mm]r_1f_1=Nullfunktion.[/mm]
>
> Dann gilt für alle [mm]x\in \IR r_1e^{\lambda_1x}=0[/mm]
>
> ==> [mm]r_1=0[/mm] . (Überlege Dir, warum.)
Also [mm] r_1=0 [/mm] muss gelten, weil die e-Funktion nie Null werden kann.
>
>
> Nun versuche mal ein bißchen weiter.
Ich hab es weiter versucht.Jetzt kommt die Induktionsvoraussetzung, das ist einfach
[mm] IV:r_{1}\cdot{}e^{\lambda_{1}\cdot{}x}+r_{2}\cdot{}e^{\lambda_{2}\cdot{}x}+...+r_{n}\cdot{}e^{\lambda_{n}\cdot{}x}=0 -->r_{1}=r_{2}=...=r_{n}=0.
[/mm]
Jetzt der Induktionsschritt:
[mm] r_{1}\cdot{}e^{\lambda_{1}\cdot{}x}+r_{2}\cdot{}e^{\lambda_{2}\cdot{}x}+...+r_{n+1}\cdot{}e^{\lambda_{n+1}\cdot{}x}=0. -->r_{1}=r_{2}=...=r_{n+1}=0
[/mm]
Jetzt kann ich schonmal das verwenden,was wir im Induktionsanfang gezeigt haben,also kann ich schonmal sagen,dass [mm] r_{1}=0 [/mm] ist,aber obwohl,ich glaube ich kanns doch nicht sagen,denn dafür muss ich ja [mm] r_1e^{\lambda_1x}=0 [/mm] stehen haben,aber auf der rechten Seite hab ich noch mehr Summanden als nur die 0.
Oder kann ich das so aufschreiben für n+1:
[mm] r_{1}\cdot{}e^{\lambda_{1}\cdot{}x}+r_{2}\cdot{}e^{\lambda_{2}\cdot{}x}+...+r_{n}\cdot{}e^{\lambda_{n}\cdot{}x}+r_{1}e^{\lambda_1x}=0.
[/mm]
Vielleicht darf ich jetzt sagen,dass [mm] r_{1}=0 [/mm] ist ?
Also ich muss das doch jetzt irgendwie umformen,aber das geht hier so schlecht,wie mache ich denn hier weiter?
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:25 Fr 19.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Du hast
$ [mm] r_{1}\cdot{}e^{\lambda_{1}\cdot{}x}+r_{2}\cdot{}e^{\lambda_{2}\cdot{}x}+...+r_{n+1}\cdot{}e^{\lambda_{n+1}\cdot{}x}=0. [/mm] $ für alle x
Multipliziere diese Gleichung mit [mm] e^{-\lambda_{1}\cdot{}x} [/mm] durch
Die entstehende Gleichung gilt ebenfalls für alle x.
Jetzt verwende den Hinweis und differenziere diese neue Gleichung nach x
Dann kannst Du die IV anwenden
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:31 Sa 20.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Du hast
>
>
> [mm]r_{1}\cdot{}e^{\lambda_{1}\cdot{}x}+r_{2}\cdot{}e^{\lambda_{2}\cdot{}x}+...+r_{n+1}\cdot{}e^{\lambda_{n+1}\cdot{}x}=0. [/mm]
> für alle x
>
> Multipliziere diese Gleichung mit [mm]e^{-\lambda_{1}\cdot{}x}[/mm]
> durch
Wenn ich das mache,habe ich [mm] r_{1}\cdot{}e^{(\lambda_{1}-\lambda_{1})\cdot{}x}+r_{2}\cdot{}e^{(\lambda_{2}-\lambda_{1})\cdot{}x}+...+r_{n+1}\cdot{}e^{(\lambda_{n+1}-\lambda_{1})\cdot{}x}=0 [/mm]
>
> Die entstehende Gleichung gilt ebenfalls für alle x.
>
> Jetzt verwende den Hinweis und differenziere diese neue
> Gleichung nach x
ok,dann hab ich [mm] (\lambda_{1}-\lambda_{1})*r_{1}\cdot{}e^{(\lambda_{1}-\lambda_{1})\cdot{}x}+(\lambda_{2}-\lambda_{1})*r_{2}\cdot{}e^{(\lambda_{2}-\lambda_{1})\cdot{}x}+...+(\lambda_{n+1}-\lambda_{1})*r_{n+1}\cdot{}e^{(\lambda_{n+1}-\lambda_{1})\cdot{}x}=0 [/mm]
[mm] bzw.0*r_{1}\cdot{}e^{0}+\lambda_{2}*r_{2}\cdot{}e^{(\lambda_{2}-\lambda_{1})\cdot{}x}-\lambda_{1}*r_{2}\cdot{}e^{(\lambda_{2}-\lambda_{1})\cdot{}x}+...+\lambda_{n+1}*r_{n+1}\cdot{}e^{(\lambda_{n+1}-\lambda_{1})\cdot{}x}-\lambda_{1}*r_{n+1}\cdot{}e^{(\lambda_{n+1}-\lambda_{1})\cdot{}x}=0 [/mm]
>
> Dann kannst Du die IV anwenden
>
Die IV ist ja [mm] r_{1}\cdot{}e^{\lambda_{1}\cdot{}x}+r_{2}\cdot{}e^{\lambda_{2}\cdot{}x}+...+r_{n}\cdot{}e^{\lambda_{n}\cdot{}x}=0 -->r_{1}=r_{2}=...=r_{n}=0
[/mm]
Aber ich sehe nicht,wie ich die benutzen kann,denn ich hab ja im Exponenten eine Summe stehen und vor allen Summanden ein lambda ?
lg
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> Wenn ich das mache,habe ich
> [mm]r_{1}\cdot{}e^{(\lambda_{1}-\lambda_{1})\cdot{}x}+r_{2}\cdot{}e^{(\lambda_{2}-\lambda_{1})\cdot{}x}+...+r_{n+1}\cdot{}e^{(\lambda_{n+1}-\lambda_{1})\cdot{}x}=0[/mm]
> >
> > Die entstehende Gleichung gilt ebenfalls für alle x.
> >
> > Jetzt verwende den Hinweis und differenziere diese neue
> > Gleichung nach x
>
> ok,dann hab ich
>
> [mm](\lambda_{1}-\lambda_{1})*r_{1}\cdot{}e^{(\lambda_{1}-\lambda_{1})\cdot{}x}+(\lambda_{2}-\lambda_{1})*r_{2}\cdot{}e^{(\lambda_{2}-\lambda_{1})\cdot{}x}+...+(\lambda_{n+1}-\lambda_{1})*r_{n+1}\cdot{}e^{(\lambda_{n+1}-\lambda_{1})\cdot{}x}=0[/mm]
> [mm]bzw.0*r_{1}\cdot{}e^{0}+\lambda_{2}*r_{2}\cdot{}e^{(\lambda_{2}-\lambda_{1})\cdot{}x}-\lambda_{1}*r_{2}\cdot{}e^{(\lambda_{2}-\lambda_{1})\cdot{}x}+...+\lambda_{n+1}*r_{n+1}\cdot{}e^{(\lambda_{n+1}-\lambda_{1})\cdot{}x}-\lambda_{1}*r_{n+1}\cdot{}e^{(\lambda_{n+1}-\lambda_{1})\cdot{}x}=0[/mm]
>
> >
> > Dann kannst Du die IV anwenden
> >
> Die IV ist ja
> [mm]r_{1}\cdot{}e^{\lambda_{1}\cdot{}x}+r_{2}\cdot{}e^{\lambda_{2}\cdot{}x}+...+r_{n}\cdot{}e^{\lambda_{n}\cdot{}x}=0 -->r_{1}=r_{2}=...=r_{n}=0[/mm]
Hallo,
laß Dich nicht von den lambdas blenden. Die stehen ja nur für paarweise verschiedene reelle Zahlen.
Die durch Induktion zu zeigende Behauptung ist:
Wenn man irgendwelche n paarweise verschiedene reelle Zahlen [mm] \mu_1,...,\mu_n [/mm] und und n Funktionen [mm] f_i(x):=e^{\mu_i x} [/mm] hat, dann sind diese n Funktionen linear unabhängig.
Die Induktionsvoraussetzung ist dementsprend: es sei für ein n gezeigt, gezeigt, daß irgendwelche paarweise verschiedene reelle Zahlen [mm] \mu_1,...,\mu_ [/mm] die Funktionen [mm] f_i(x):=e^{\mu_i x}, [/mm] i=1,...,n linear unabhängig sind.
Diese Annahme kannst Du nun direkt auf Deine n Funktionen
[mm] g_i(x):=e^{(\lambda_{i}-\lambda_{1})x}, [/mm] i=2,...,n+1 anwenden.
Die I.V. sagt, daß sie unabhängig sind, denn die [mm] \lambda_i-\lambda_1 [/mm] sind paarweise verschiedene reelle Zahlen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:25 Sa 20.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo,
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> laß Dich nicht von den lambdas blenden. Die stehen ja nur
> für paarweise verschiedene reelle Zahlen.
>
> Die durch Induktion zu zeigende Behauptung ist:
>
> Wenn man irgendwelche n paarweise verschiedene reelle
> Zahlen [mm]\mu_1,...,\mu_n[/mm] und und n Funktionen
> [mm]f_i(x):=e^{\mu_i x}[/mm] hat, dann sind diese n Funktionen
> linear unabhängig.
>
> Die Induktionsvoraussetzung ist dementsprend: es sei für
> ein n gezeigt, gezeigt, daß irgendwelche paarweise
> verschiedene reelle Zahlen [mm]\mu_1,...,\mu_[/mm] die Funktionen
> [mm]f_i(x):=e^{\mu_i x},[/mm] i=1,...,n linear unabhängig sind.
>
> Diese Annahme kannst Du nun direkt auf Deine n Funktionen
> [mm]g_i(x):=e^{(\lambda_{i}-\lambda_{1})x},[/mm] i=2,...,n+1
> anwenden.
> Die I.V. sagt, daß sie unabhängig sind, denn die
> [mm]\lambda_i-\lambda_1[/mm] sind paarweise verschiedene reelle
> Zahlen.
Ok,aber wieso muss ich das dann ableiten?Wenn ich diese Gleichung habe [mm] r_{1}\cdot{}e^{(\lambda_{1}-\lambda_{1})\cdot{}x}+r_{2}\cdot{}e^{(\lambda_{2}-\lambda_{1})\cdot{}x}+...+r_{n+1}\cdot{}e^{(\lambda_{n+1}-\lambda_{1})\cdot{}x}=0 [/mm] ,dann hab ich j auch paarweise verschiedene lambdas im Exponenten ?
lg
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> > Hallo,
> >
> > laß Dich nicht von den lambdas blenden. Die stehen ja nur
> > für paarweise verschiedene reelle Zahlen.
> >
> > Die durch Induktion zu zeigende Behauptung ist:
> >
> > Wenn man irgendwelche n paarweise verschiedene reelle
> > Zahlen [mm]\mu_1,...,\mu_n[/mm] und und n Funktionen
> > [mm]f_i(x):=e^{\mu_i x}[/mm] hat, dann sind diese n Funktionen
> > linear unabhängig.
> >
> > Die Induktionsvoraussetzung ist dementsprend: es sei für
> > ein n gezeigt, gezeigt, daß irgendwelche paarweise
> > verschiedene reelle Zahlen [mm]\mu_1,...,\mu_[/mm] die Funktionen
> > [mm]f_i(x):=e^{\mu_i x},[/mm] i=1,...,n linear unabhängig sind.
> >
> > Diese Annahme kannst Du nun direkt auf Deine n Funktionen
> > [mm]g_i(x):=e^{(\lambda_{i}-\lambda_{1})x},[/mm] i=2,...,n+1
> > anwenden.
> > Die I.V. sagt, daß sie unabhängig sind, denn die
> > [mm]\lambda_i-\lambda_1[/mm] sind paarweise verschiedene reelle
> > Zahlen.
>
> Ok,aber wieso muss ich das dann ableiten?Wenn ich diese
> Gleichung habe
> [mm]r_{1}\cdot{}e^{(\lambda_{1}-\lambda_{1})\cdot{}x}+r_{2}\cdot{}e^{(\lambda_{2}-\lambda_{1})\cdot{}x}+...+r_{n+1}\cdot{}e^{(\lambda_{n+1}-\lambda_{1})\cdot{}x}=0[/mm]
> ,dann hab ich j auch paarweise verschiedene lambdas im
> Exponenten ?
Hallo,
Du hast so aber n+1 Funktionen.
Gruß v. Angela
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Hallo,
Ich habe da auch mal eine Frage zu. Jetzt wurde ja bewiesen, dass die Funktion [mm] f_{i} [/mm] linear unabhängig ist. Folgt daraus automatisch, dass die Menge linear unabhängig ist? Das war doch eigendlich das, was bewíesen werden sollte, oder?
Liebe Grüße Anna
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> Hallo,
> Ich habe da auch mal eine Frage zu. Jetzt wurde ja
> bewiesen, dass die Funktion [mm]f_{i}[/mm] linear unabhängig ist.
Hallo,
nein.
Wenn die Induktion bis zum Ende ausgeführt ist, ist b ewiesen, daß die Menge der Funktionen [mm] \{f_1,...,f_n\} [/mm] mit [mm] f_i:=... [/mm] für jedes [mm] n\in \IN [/mm] linear unabhängig ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:21 So 21.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Wenn man irgendwelche n paarweise verschiedene reelle
> Zahlen [mm]\mu_1,...,\mu_n[/mm] und und n Funktionen
> [mm]f_i(x):=e^{\mu_i x}[/mm] hat, dann sind diese n Funktionen
> linear unabhängig.
>
> Die Induktionsvoraussetzung ist dementsprend: es sei für
> ein n gezeigt, gezeigt, daß irgendwelche paarweise
> verschiedene reelle Zahlen [mm]\mu_1,...,\mu_[/mm] die Funktionen
> [mm]f_i(x):=e^{\mu_i x},[/mm] i=1,...,n linear unabhängig sind.
>
> Diese Annahme kannst Du nun direkt auf Deine n Funktionen
> [mm]g_i(x):=e^{(\lambda_{i}-\lambda_{1})x},[/mm] i=2,...,n+1
> anwenden.
Also eigentlich hab ich ja n+1 Funktionen,aber kann ich sagen,dass ich n Funktionen habe,weil die erste mit 0 multipliziert wird und somit wegfällt,dann hab ich nur noch n Funktionen?
lg
> Die I.V. sagt, daß sie unabhängig sind, denn die
> [mm]\lambda_i-\lambda_1[/mm] sind paarweise verschiedene reelle
> Zahlen.
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> > Wenn man irgendwelche n paarweise verschiedene reelle
> > Zahlen [mm]\mu_1,...,\mu_n[/mm] und und n Funktionen
> > [mm]f_i(x):=e^{\mu_i x}[/mm] hat, dann sind diese n Funktionen
> > linear unabhängig.
> >
> > Die Induktionsvoraussetzung ist dementsprend: es sei für
> > ein n gezeigt, gezeigt, daß irgendwelche paarweise
> > verschiedene reelle Zahlen [mm]\mu_1,...,\mu_[/mm] die Funktionen
> > [mm]f_i(x):=e^{\mu_i x},[/mm] i=1,...,n linear unabhängig sind.
> >
> > Diese Annahme kannst Du nun direkt auf Deine n Funktionen
> > [mm]g_i(x):=e^{(\lambda_{i}-\lambda_{1})x},[/mm] i=2,...,n+1
> > anwenden.
>
> Also eigentlich hab ich ja n+1 Funktionen,aber kann ich
> sagen,dass ich n Funktionen habe,weil die erste mit 0
> multipliziert wird und somit wegfällt,dann hab ich nur
> noch n Funktionen?
Hallo,
ja, Du hast hier nur n Funktionen, die von der Bauart sind, die im Beweis behandelt wird.
Gruß v. Angela
>
> lg
> > Die I.V. sagt, daß sie unabhängig sind, denn die
> > [mm]\lambda_i-\lambda_1[/mm] sind paarweise verschiedene reelle
> > Zahlen.
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