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| Aufgabe | Man zeige: Es sei n [mm] \ge [/mm] 1 eine natürliche Zahl. Es seien [mm] a_{k} \ge [/mm] 0, 1 [mm] \le k\len,reelle [/mm] Zahlen. Dann gilt [mm] (\bruch{1}{n}*\summe_{k=1}^{n} a_{k} )^{n} \ge \produkt_{k=1}^{n} a_{k}
[/mm]
Hinweis: Man betrachte [mm] (1+\bruch{x_{n+1}-\overline{a}}{(n+1)*\overline{a}})^{n+1} [/mm] mit [mm] \overline{a} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n}*\summe_{k=1}^{n} a_{k} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe da schon im Ansatz ein Problem.
Induktionsanfang kann ich mir lösen, da ich da nur n=1 setzen muss. Daraus erhalte ch dann
[mm] (\bruch{1}{1}*\summe_{k=1}^{1} a_{k} )^{1} \ge \produkt_{k=1}^{1} a_{k}
[/mm]
und das ist ja das gleiche wie
[mm] (1*a_{1} )^{1} \ge a_{1}
[/mm]
und das ist ja [mm] a_{1} \ge a_{1}. [/mm] somit habe ich ja den Induktionsanfang erledigt.
Jetzt komme ich nicht weiter. Mir fällt überhaupt nicht ein wie ich den Induktionsschluss formulieren muss.
hoffe mir kann jemand helfen.
Danke schonmal im vorraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:25 So 18.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Man zeige: Es sei n [mm]\ge[/mm] 1 eine natürliche Zahl. Es seien
> [mm]a_{k} \ge[/mm] 0, 1 [mm]\le k\len,reelle[/mm] Zahlen. Dann gilt
> [mm](\bruch{1}{n}*\summe_{k=1}^{n} a_{k} )^{n} \ge \produkt_{k=1}^{n} a_{k}[/mm]
>
> Hinweis: Man betrachte
> [mm](1+\bruch{x_{n+1}-\overline{a}}{(n+1)*\overline{a}})^{n+1}[/mm]
> mit [mm]\overline{a}[/mm] = [mm]\bruch{1}{n}*\summe_{k=1}^{n} a_{k}[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Ich habe da schon im Ansatz ein Problem.
>
> Induktionsanfang kann ich mir lösen, da ich da nur n=1
> setzen muss. Daraus erhalte ch dann
>
> [mm](\bruch{1}{1}*\summe_{k=1}^{1} a_{k} )^{1} \ge \produkt_{k=1}^{1} a_{k}[/mm]
>
> und das ist ja das gleiche wie
>
> [mm](1*a_{1} )^{1} \ge a_{1}[/mm]
>
> und das ist ja [mm]a_{1} \ge a_{1}.[/mm] somit habe ich ja den
> Induktionsanfang erledigt.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Jetzt komme ich nicht weiter. Mir fällt überhaupt nicht
> ein wie ich den Induktionsschluss formulieren muss.
Hast du dir mal den Tipp angeschaut? Benutze ihn zusammen mit der Bernoullischen Ungleichung. Dann wende die Induktionsvoraussetzung an.
LG Felix
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