matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Schulmathe
  Status Primarstufe
  Status Mathe Klassen 5-7
  Status Mathe Klassen 8-10
  Status Oberstufenmathe
    Status Schul-Analysis
    Status Lin. Algebra/Vektor
    Status Stochastik
    Status Abivorbereitung
  Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Bundeswettb. Mathe
    Status Deutsche MO
    Status Internationale MO
    Status MO andere Länder
    Status Känguru
  Status Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenUni-Lineare Algebravollständige Induktion
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Uni-Lineare Algebra" - vollständige Induktion
vollständige Induktion < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Lineare Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

vollständige Induktion: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:59 Fr 18.04.2008
Autor: jakob99

Aufgabe
Man zeige, dass [mm] 4^{2n+1} [/mm] + [mm] 3^{n+2} [/mm] für alle n [mm] \in \IN [/mm] durch 13 teilbar ist.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Hi,

ich komme an folgender Stelle des Induktionsschlusses nicht mehr weiter:

Die Induktions Voraussetzung ist : [mm] (4^{2(n+1)+1} [/mm] + [mm] 3^{n+1+2}) [/mm] /13=n
= [mm] (4^{2n+3} [/mm] + [mm] 3^{n+3}) [/mm] /13

Ich komme dann auf:

[mm] (4^{2n+1}*3 [/mm] + [mm] 3^{n+2}*3 +13*4^{2n+1})/13=n [/mm]

der hintere Teil [mm] 13*4^{2n+1} [/mm] ist ja klar. Der ist immer durch 13 teilbar.

Aber was mach ich mit dem vorderen Teil?
Ich komme nicht weiter.

Danke für eure Hilfe.

Jakob

        
Bezug
vollständige Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:26 Fr 18.04.2008
Autor: barsch

Hi,

Behauptung:

[mm] 4^{2n+1}+3^{n+2} [/mm] für alle [mm] n\in\IN [/mm] durch 13 teilbar

Induktionsanfang: n=1:

[mm] 4^{2*1+1}+3^{1+2}=4^{3}+3^{3}=91=13*7 [/mm]    (also: ist durch 13 teilbar!)

Induktionsvoraussetzung: [mm] 4^{2n+1}+3^{n+2} [/mm] durch 13 teilbar gelte [mm] \forall n\in\IN. [/mm]

Induktionsschritt: [mm] n\to{n+1} [/mm]

[mm] 4^{2(n+1)+1}+3^{(n+1)+2}=4^{2n+3}+3^{n+3}=4^{2n+1}*4^2+3^{n+2}*3 [/mm]

[mm] =4^{2n+1}\cdot3+3^{n+2}\cdot3+13\cdot4^{2n+1}=\underbrace{\underbrace{3*\underbrace{(4^{2n+1}+3^{n+2})}_{\text{nach IV durch 13 teilbar!}}}_{\text{dann ist ein vielfaches (3fache) auch durch 13 teilbar}}+\underbrace{13\cdot4^{2n+1}}_{\text{Auch durch 13 teilbar!}}}_{\text{Insgesamt durch 13 teilbar}} [/mm]

Da du vielfache von 13 addierst, erhälst du wieder ein vielfaches von 13,daher [mm] \text{Insgesamt durch 13 teilbar}! [/mm]

MfG barsch

Bezug
                
Bezug
vollständige Induktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:31 Fr 18.04.2008
Autor: jakob99

Ah,
klar.

Danke barsch

Bezug
        
Bezug
vollständige Induktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:33 Fr 18.04.2008
Autor: jedi84

Die Antwort von Barsch ist natürlich komplett richtig, aber du warst schon fast da. Gekommen bist du bis:
[mm] (4^{2n+1}*3 [/mm] + [mm] 3^{n+2}*3 +13*4^{2n+1})/13=n [/mm]
wobei besser
[mm] (4^{2n+1}*3 [/mm] + [mm] 3^{n+2}*3 +13*4^{2n+1})/13=m [/mm]
Denn es handelt sich wohl nicht um dasselbe n.
An dieser Stelle hättest du nur noch die 3 aus den beiden vorderen Summanden ausklammern sollen und wärst bei
[mm] 3*(4^{2n+1} [/mm] + [mm] 3^{n+2})=13m [/mm]
Dort siehst du dann den Teil
[mm] (4^{2n+1} [/mm] + [mm] 3^{n+2}) [/mm]
der ja laut Induktionsvoraussetzung durch 13 teilbar ist.

Gruß Jens

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Lineare Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.schulmatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]