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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:42 Mi 19.01.2005 | | Autor: | who11 |
Hallo,
wir haben diese Aufgabe gekriegt:
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In einer ebene sollen n geraden so verlaufen,dass keine gerade zu einer anderen parallel ist und es keinen punkt gibt, durch den mehr als zwei der geraden gehen.
a) veranschaulichen sie den sachverhalt für n=3. Zeichnen sie eine vierte gerade und geben sie an, wie viele neue ebenenteile dabei entstehen.
b)begründen sie, dass die hinzunahme einer (n+1)-ten geraden zu k berreits vorhandenen geraden die anzahl der ebenenteile um n+1 erhöht.
c)ermitteln sie eine formel für für die anzahl der ebenenteile in abhängigkeit von der geradenanzahl n. Beweisen Sie ihre Vermutung durch vollständige Induktion.
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also bei a) hab ich es gezeichnet und komme bei n=3 auf 7 teile und bei n=4 komme ich auf 4 neue teile
also bei b)
hab ich so überlegt :
k=1 (also eine gerade und 2 ebenenteile) dann wird eine gerade dazugenommen (also k bzw. n+1) haben wir zwei geraden und 4 ebenenteile bei drei dann 7 ebenenteile aber nun versteh ich ich nicht die erhöhung der ebenenteile auf n+1
und bei c) hab ich noch keine ahnung da ich ja b nicht gelöst krieg
ich würd mich über hilfe freuen
MfG who11
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:57 Mi 19.01.2005 | | Autor: | Marle |
Hallo ich weiß nicht ob dir das hilft aber noch mal aufgeschlüsselt:
Am Anfang hast du eine Ebene und keine Gerade
wenn du die Zahl der Graden erhöhst kommt folgende Tabelle raus:
Graden (Teil)ebenen
0 1
1 2 (+1)
2 4 (+2)
3 7 (+3)
4 11 (+4)
... ... ...
n +n
und so weiter ...
Es handelt sich um nicht parralele Graden, d.h. sie schneiden sich (sofern sie sich in einer Ebene befinden) in einem Punkt. Wenn zu den vornandenen Graden eine hinzukommt so schneidet diese alle anderen Graden ...
[mm] S_{Ebene} = 1 + 1 + 2 + 3 + ... + n[/mm]
Vermutung:
[mm] S_{Ebene} =1 + \summe_{i=1}^{n} n = 1 + \bruch{n*(n+1)}{2}[/mm]
Vollständige Induktion:
IA.: [mm] n=1[/mm]
[mm]1 + \summe_{i=1}^{1} i = 2 [/mm]
[mm] 1 + \bruch{1*(1+1)}{2} = 2 [/mm] korrekt
IS.
Vorraussetzung: [mm]n=m [/mm]
[mm] S_{Ebene} = 1 + \summe_{i=1}^{m} i = 1 + \bruch{m*(m+1)}{2}[/mm]
Behauptung: [mm]n=m+1 [/mm]
[mm] S_{Ebene} =1 + \summe_{i=1}^{m+1} i = 1 + \bruch{(m+1)*((m+1)+1)}{2}[/mm]
Beweis:
[mm]1 + \bruch{(m+1)*((m+1)+1)}{2} = 1 + \bruch{m*(m+1)}{2} + (m+1) [/mm]
[mm]1 + \bruch{(m+1)*((m+1)+1)}{2} = 1 + \bruch{m*(m+1)}{2} + \bruch{2(m+1)}{2}[/mm]
[mm]1 + \bruch{(m+1)*((m+1)+1)}{2} = 1 + \bruch{m*(m+1)+2*(m+1)}[/mm]
[mm]1 + \bruch{(m+1)*((m+1)+1)}{2} = 1 + \bruch{(m+1)(m+2)}{2}[/mm]
[mm]1 + \bruch{(m+1)*((m+1)+1)}{2} = 1 + \bruch{(m+1)(m+1+1)}{2}[/mm]
[mm]1 + \bruch{(m+1)*((m+1)+1)}{2} = 1 + \bruch{(m+1)*((m+1)+1)}{2}[/mm]
qed
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