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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:09 Di 23.10.2007 | | Autor: | claudi7 |
| Aufgabe | | Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass die rekursive Folge mit [mm] a_1=1 [/mm] und [mm] a_n= 3-\bruch{1}{a_n_-_1} [/mm] beschränkt ist und monoton wächst. Bestimmen Sie den Grenzwert. |
Ich verzweifle allmählich an diesen Induktionsaufgaben!!! :-(
Kann mir bitte jemand eine für "Mathedummies" verständliche Hilfe geben?
Ich habe vollgenden Ansatz:
Beschränktheit: Behauptung [mm] 1
Indukt.anfang: n=1 und [mm] a_1=1 [/mm] also n=a --> wahr
Indukt.annahme: [mm] a_k= 3-\bruch{1}{a_k_-_1}
[/mm]
Indukt.behauptung: [mm] a_k_+_1= 3-\bruch{1}{a_k}
[/mm]
.....und dann komm ich nicht mehr weiter!!
Monotonie: Behauptung [mm] a_n_-_1
Indukt.anfang: [mm] a_1=1
Indukt.annahme: [mm] a_k>a_k_-_1
[/mm]
Indukt.behauptung: [mm] a_k_+_1>a_k
[/mm]
.....und dann komm ich nicht mehr weiter!!
Grenzwert: [mm] g=3-\bruch{1}{g}
[/mm]
wie löse ich die Gleichung nach g auf?????
Danke im voraus
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Hallo claudi7,
du hast da im Induktionsbeweis einiges "verwurschtelt"
ich sag mal ein paar Worte zum Induktionsbeweis für die Beschränktheit:
Du willst zeigen, dass für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] die Folgenglieder zwischen 1 und 3 liegen.
Du willst also zeigen, dass für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] gilt: [mm] $1\le a_n\le [/mm] 3$
Das geht per Induktion, wie auch in der Aufgabenstellung steht.
Dein Ansatz zeigt, dass dir das Prinzip der VI (noch) nicht ganz klar ist?
Das ist völlig verwurschtelt
Also im ersten Schritt musst im [mm] \underline{Induktionsanfang} [/mm] zeigen, dass die Behauptung für $n=1$ gilt:
zu zeigen ist also [mm] $1\le a_1\le [/mm] 3$
Nun [mm] $a_1=1$ [/mm] ist vorgegeben und offensichtlich gilt [mm] $1\le 1\le [/mm] 3$
Der Induktionsanfang ist also schon mal erfüllt.
Im [mm] \underline{Induktionsschritt} ($n\to [/mm] n+1$) musst du nun zeigen, dass unter der Annahme [mm] (\underline{Induktionsannahme}), [/mm] dass die Behauptung für ein beliebiges, aber festes [mm] $n\in\IN$ [/mm] gilt, die Behauptung gefälligst dann auch für $n+1$ gilt.
Also [mm] \underline{Induktionsannahme} [/mm] Sei [mm] $n\in\IN$ [/mm] und gelte [mm] $1\le a_n\le [/mm] 3$
Im eigentlichen Induktionsbeweis musst du - wie schon gesagt - nun zeigen, dass dann gefälligst auch [mm] $1\le a_{n+1}\le [/mm] 3$ ist
Machen wir das mal:
Wir zeigen in 2 Schritten:
(1) [mm] $1\le a_{n+1}$
[/mm]
(2) [mm] $a_{n+1}\le [/mm] 3$
Es ist [mm] $a_{n+1}=3-\frac{1}{a_n}$
[/mm]
Nach Induktionsannahme ist [mm] $1\le a_n$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow 1\ge \frac{1}{a_n}$ [/mm]
[mm] $\Rightarrow -1\le -\frac{1}{a_n}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow 3-1\le 3-\frac{1}{a_n}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow 2\le \underbrace{3-\frac{1}{a_n}}_{=a_{n+1}}$
[/mm]
Ich hoffe, dir sind diese Umformungen klar. Rechnen mit Ungleichungen...
Also haben wir [mm] $2\le a_{n+1}$
[/mm]
Also erst recht (wegen 1<2): [mm] $1\le a_{n+1}$
[/mm]
Nun versuche du dich mal an der Abschätzung gegen 3, das geht ganz ähnlich.
Wenn du das hast, kümmern wir uns um die Monotonie, ok?
Hoffe, das war nicht zu sehr klein-klein, aber du wolltest es ja ausführlich 
Lieben Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:28 Mi 24.10.2007 | | Autor: | claudi7 |
Hi,
zunächst mal vielen Dank für deine ausführliche Antwort. Genau so wollte ich es 
Habe deine Vorgehensweise schon nachvollziehen können, komme jedoch bei [mm] a_n\le [/mm] 3 nicht wirklich weiter.
Bin wie folgt vorgegangen:
Nach Induktionsannahme ist [mm] a_n\le3 [/mm]
[mm] \Rightarrow 3\ge \bruch{1}{a_n}
[/mm]
[mm] \Rightarrow -3\le -\bruch{1}{a_n}
[/mm]
[mm] \Rightarrow 3-3\le 3-\bruch{1}{a_n}
[/mm]
[mm] 0\le a_n_+_1
[/mm]
das ist zwar war, aber hilft mir nicht für den Beweis dass [mm] a_n\le [/mm] 3
Wäre nett, wenn du mir weiterhelfen könntest beim Lösen der Aufgabe. Ich steh irgendwie auf dem Schlauch. In meiner Klasse blickt leider keiner so recht durch. Ich hoffe wir kommen bald zu einem anderen Thema - aber erstmal ist die 1. Klausur angesagt :-(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:58 Mi 24.10.2007 | | Autor: | statler |
Guten Tag!
> zunächst mal vielen Dank für deine ausführliche Antwort.
> Genau so wollte ich es
>
> Habe deine Vorgehensweise schon nachvollziehen können,
> komme jedoch bei [mm]a_n\le[/mm] 3 nicht wirklich weiter.
>
> Bin wie folgt vorgegangen:
>
> Nach Induktionsannahme ist [mm]a_n\le3[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow 3\ge \bruch{1}{a_n}[/mm]
Nenee, das folgt nicht daraus!
Vielmehr folgt erst [mm] \bruch{1}{a_{n}} \ge \bruch{1}{3}
[/mm]
und dann [mm] -\bruch{1}{a_{n}} \le -\bruch{1}{3}
[/mm]
Jetzt noch auf beiden Seiten 3 addieren, und alles wird gut!
So einsichtig?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:59 Mi 24.10.2007 | | Autor: | claudi7 |
Danke! Stand wohl wirklich auf der Leitung
Zum Beweis der Monotonie:
Induktionsanfang: zu zeigen [mm] a_1\le a_2\le a_3 [/mm]
[mm] 1\le 2\le [/mm] 2,5 [mm] \Rightarrow [/mm] wahr, somit erfüllt
Induktionsannahme: [mm] a_n_-_1\le a_n\le a_n_+_1
[/mm]
soweit richtig???
wenn [mm] a_n\ge a_n_-_1 [/mm] dann [mm] a_n_+_1\ge a_n
[/mm]
[mm] \Rightarrow a_n-a_n_-_1\ge [/mm] 0
.....und weiter?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:43 Mi 24.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo claudi!
Für den Nachwei der Monotonie können wir wohl auf die vollständige Induktion verzichten. Für "monoton wachsend" müssen wir zeigen, dass gilt: [mm] $a_{n+1}-a_n [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 0$ .
[mm] $$\red{a_{n+1}}-a_n [/mm] \ = \ [mm] \red{3-\bruch{1}{a_n}}-a_n [/mm] \ = \ [mm] \bruch{3*a_n-1-a_n^2}{a_n} [/mm] \ = \ ... \ [mm] \ge [/mm] \ 0$$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:16 Do 25.10.2007 | | Autor: | claudi7 |
Danke!! Aber kann ich das so einfach ignorieren wenn doch in der Aufgabenstellung der Beweis der Monotonie durch vollständige Induktion verlangt wird??
Was ist mit der Berechnung des Grenzwertes??
Gruß
claudi
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> Danke!! Aber kann ich das so einfach ignorieren wenn doch
> in der Aufgabenstellung der Beweis der Monotonie durch
> vollständige Induktion verlangt wird??
Hallo,
wenn das da ausdrücklich gefordert ist, soll man es so machen, vermute ich.
Dann geht es nicht nur ums Ergebnis, sondern auch darum zu zeigen, daß man Induktion kann.
> Was ist mit der Berechnung des Grenzwertes??
Wenn Du monoton und beschränkt gezeigt hast, weißt Du ja, daß der Grenzwert g existiert.
Du erhältst ihn dann aus der Rekursionsformel $ [mm] a_n= 3-\bruch{1}{a_n_-_1} [/mm] $ , indem Du $ g= [mm] 3-\bruch{1}{g} [/mm] $ löst.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:40 Fr 26.10.2007 | | Autor: | claudi7 |
> > Danke!! Aber kann ich das so einfach ignorieren wenn doch
> > in der Aufgabenstellung der Beweis der Monotonie durch
> > vollständige Induktion verlangt wird??
>
> Hallo,
>
> wenn das da ausdrücklich gefordert ist, soll man es so
> machen, vermute ich.
>
> Dann geht es nicht nur ums Ergebnis, sondern auch darum zu
> zeigen, daß man Induktion kann.
.....und wie mach ich das? War mein Ansatz richtig?
>
>
> > Was ist mit der Berechnung des Grenzwertes??
>
> Wenn Du monoton und beschränkt gezeigt hast, weißt Du ja,
> daß der Grenzwert g existiert.
>
> Du erhältst ihn dann aus der Rekursionsformel [mm]a_n= 3-\bruch{1}{a_n_-_1}[/mm]
> , indem Du [mm]g= 3-\bruch{1}{g}[/mm] löst.
........ja, so habe ich es ja in meinem Lösungsansatz stehen. Ich komme bloß nicht auf das Ergebnis, dass unser Lehrer angegeben hat:
[mm] g=\bruch{3}{2}+\bruch{1}{2}\wurzel{5} [/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:45 Fr 26.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo claudi!
> Ich komme bloß nicht auf das Ergebnis, dass unser
> Lehrer angegeben hat: [mm]g=\bruch{3}{2}+\bruch{1}{2}\wurzel{5}[/mm]
Multipliziere die Gleichung [mm]g= 3-\bruch{1}{g}[/mm] mit $g_$ und löse die entstehende quadratische Gleichung; z.B. mit der  p/q-Formel.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:24 Fr 26.10.2007 | | Autor: | claudi7 |
> Hallo claudi!
>
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> > Ich komme bloß nicht auf das Ergebnis, dass unser
> > Lehrer angegeben hat:
> [mm]g=\bruch{3}{2}+\bruch{1}{2}\wurzel{5}[/mm]
>
> Multipliziere die Gleichung [mm]g= 3-\bruch{1}{g}[/mm] mit [mm]g_[/mm] und
> löse die entstehende quadratische Gleichung; z.B. mit der
> p/q-Formel.
>
>
> Gruß
> Loddar
>
....okay, habe ich gemacht! Aber warum gibt es nur eine Lösung für g?
Müsste es nicht als Lösung: [mm]g_1=\bruch{3}{2}+\bruch{1}{2}\wurzel{5}[/mm] und [mm] g_2=\bruch{3}{2}-\bruch{1}{2}\wurzel{5} [/mm] geben?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:45 Fr 26.10.2007 | | Autor: | statler |
Hallo!
> > > Ich komme bloß nicht auf das Ergebnis, dass unser
> > > Lehrer angegeben hat:
> > [mm]g=\bruch{3}{2}+\bruch{1}{2}\wurzel{5}[/mm]
> > Multipliziere die Gleichung [mm]g= 3-\bruch{1}{g}[/mm] mit [mm]g_[/mm] und
> > löse die entstehende quadratische Gleichung; z.B. mit der
> > p/q-Formel.
> ....okay, habe ich gemacht! Aber warum gibt es nur eine
> Lösung für g?
> Müsste es nicht als Lösung:
> [mm]g_1=\bruch{3}{2}+\bruch{1}{2}\wurzel{5}[/mm] und
> [mm]g_2=\bruch{3}{2}-\bruch{1}{2}\wurzel{5}[/mm] geben?
Wie willst du bei [mm] g_{2} [/mm] landen, wenn du mit 1 startest und deine Folge monoton wächst? Bei einem anderen Startwert könnte das anders aussehen.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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