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vollständige Induktion: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:41 Mo 01.11.2004
Autor: Sabine_

Hallo!

Wer kann mir bei folgender Frage zur vollständigen Induktion weiterhelfen? Bei den Aufgaben mit Summe hat's eigentlich hingehauen...

Aufgabe:

2 * n [mm] produkt_{k=2}^{n} [/mm]  [mm] (1-k^-^2)^k=(1+1/n)^n [/mm]

Mit n=2 hat's geklappt, d.h. die Aussage stimmt.

Gehe ich jetzt aber einen Schritt weiter, so komme ich auf folgende Form:

[mm] 2n(1-n^-^2)^n+2(n+1)(1-(n+1)^-^2)^n^+^1=(1+1/n+1)^n^+^1 [/mm]

-> [mm] (1+1/n)^n+2(n+1)(1-(n+1)^-^2)^n^+^1=(1+1/n+1)^n^+^1 [/mm]


Mit der habe ich jetzt schon in alle möglichen Richtung gerechnet, aber nix gescheites dabei herausbekommen.

Grüße,

Sabine_

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
vollständige Induktion: Umformung unklar
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:39 Mo 01.11.2004
Autor: Paulus

Hallo Sabine

> Aufgabe:
>  
> 2 * n [mm]produkt_{k=2}^{n}[/mm]  [mm](1-k^-^2)^k=(1+1/n)^n [/mm]
>  
> Mit n=2 hat's geklappt, d.h. die Aussage stimmt.
>  

[ok] Das habe ich auch verifiziert.

> Gehe ich jetzt aber einen Schritt weiter, so komme ich auf
> folgende Form:
>  
>
> [mm]2n(1-n^-^2)^n+2(n+1)(1-(n+1)^-^2)^n^+^1=(1+1/n+1)^n^+^1 [/mm]
>  
> -> [mm](1+1/n)^n+2(n+1)(1-(n+1)^-^2)^n^+^1=(1+1/n+1)^n^+^1 [/mm]
>  

[notok] Hier sehe ich nicht ein, wie du auf die 2. Zeile kommst [kopfkratz3]
Du hast ja gar kein Produkt mehr im Term ganz links!

>
> Mit der habe ich jetzt schon in alle möglichen Richtung
> gerechnet, aber nix gescheites dabei herausbekommen.
>

Ich würde vorschlagen, einfach stur zu rechnen (nicht die ganze Gleichung, sondern versuchen, durch Umformungen von der linken Seite auf die rechte zu gelangen.

Also so:

$2 * (n+1) [mm] \prod_{k=2}^{n+1}(1-k^{-2})^{k}=$ [/mm]
$.... =$
$....=$
$....=$
[mm] $(1+\bruch{1}{n+1})^{n+1}$ [/mm]

Wenn man das mal ausführt, sieht es etwa so aus:

[mm] $2*(n+1)*\prod_{k=2}^{n+1}(1-k^{-2})^{k}=$ [/mm]

$2n* [mm] \prod_{k=2}^{n+1}(1-k^{-2})^{k} +2*\prod_{k=2}^{n+1}(1-k^{-2})^{k}=$ [/mm]

[mm] $(2n*\prod_{k=2}^{n} (1-k^{-2})^{k})*(1-(n+1)^{-2})^{n+1}+(2*\prod_{k=2}^{n}(1-k^{-2})^{k})*(1-(n+1)^{-2})^{n+1}=$ [/mm]

[mm] $(1+\bruch{1}{n})^{n} *(1-(n+1)^{-2})^{n+1}+\bruch{1}{n}* (1+\bruch{1}{n})^{n}*(1-(n+1)^{-2})^{n+1}$ [/mm]

Jetzt einfach ausklammern:

[mm] $(1+\bruch{1}{n})^{n}*(1-(n+1)^{-2})^{n+1}*(1+\bruch{1}{n})=$ [/mm]

[mm] $(1+\bruch{1}{n})^{n+1}*(1-(n+1)^{-2})^{n+1}$ [/mm]

Jetzt kannst du ganz einfach die 3. Binomische Formel anwenden:

[mm] $(1+\bruch{1}{n})^{n+1}*(1-(n+1)^{-2})^{n+1}=$ [/mm]

[mm] $(1+\bruch{1}{n})^{n+1}*(1-(n+1)^{-1})^{n+1}*(1+(n+1)^{-1})^{n+1}$ [/mm]

Etwas anders geschrieben:

[mm] $(1+\bruch{1}{n})^{n+1}*(1-\bruch{1}{n+1})^{n+1}*(1+\bruch{1}{n+1})^{n+1}$ [/mm]

Die beiden linken Klammern je als ein einziger Bruch schreiben:

[mm] $(\bruch{n+1}{n})^{n+1}*(\bruch{n}{n+1})^{n+1}*(1+(n+1)^{-1})^{n+1}$ [/mm]

Die linken Brüche kürzen sich weg, so dass bleibt:

[mm] $(1+(n+1)^{-1})^{n+1}$ [/mm] :-)

Mit lieben Grüssen

Paul



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