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Hallo,
ich habe ein problem mit der vollständigen Induktion
die Aufgabe lautet:
[mm] \produkt_{k=2}^{n} (1-\bruch {1}{k^2}) [/mm] = [mm] \bruch{n+1}{2n} [/mm] für alle [mm] n\in\IN [/mm] mit n [mm] \ge2
[/mm]
IA: [mm] 1-\bruch{1}{2^2} [/mm] = [mm] \bruch{2+1}{2*2}
[/mm]
0,75 = 0,75
[mm] \summe_{k=1}^{n} (1-\bruch{1}{k^2}) [/mm] + [mm] 1-\bruch{1}{(n+1)}^2
[/mm]
ist denn mein Ansatz erstmal richtig?? ab hier komme ich nicht weiter, ich hab schon sämtlich Umformungen gemacht, aber irgendwie mach ich was falsch! Kann mir da jemand helfen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
lg kleines-sax
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:58 Fr 22.10.2004 | | Autor: | andreas |
hi kleines-sax
das zeichen [m] \prod [/m] bedeutet nicht summe sondern produkt (z.b. ist [m] \prod_{k=1}^n k = 1 \cdot 2 \cdot \hdots \cdot (n-1) \cdot n = n! [/m]), also musst du beim induktionsschritt so ansetzen:
induktionsannahme: sei [m] \prod_{k=2}^{n} \left(1-\frac{1}{k^2}\right) = \frac{n+1}{2n} [/m]
jetzt kanst du folgendermaßen umformen: [m] \prod_{k=2}^{n+1} \left(1-\frac{1}{k^2}\right) = \prod_{k=2}^{n} \left(1-\frac{1}{k^2}\right) \cdot \left(1 - \frac{1}{(n+1)^2} \right) \stackrel{\text{induktionsvoraussetzung}}{=} \frac{n+1}{2n} \codt \left(1 - \frac{1}{(n+1)^2} \right) [/m]
jetzt einfach mal weiter rechnen und schauen ob du auf [m] \frac{n+2}{2n + 2} [/m] kommst. wenn weiter probleme auftreten kannst du dich ja nochmal melden.
grüße
andreas
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