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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:06 Sa 11.11.2006 | | Autor: | Phoney |
| Aufgabe | | Zeigen Sie [mm] $n^2 \le 2^n$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit $n [mm] \not= [/mm] 3$ |
Huhu.
Für n+1 klappt es bei mir nicht
Setz es ein
[mm] $2^{n+1} [/mm] = [mm] 2*2^n$ [/mm]
für [mm] 2^n [/mm] die induktionsvoraussetzung
[mm] $2*2^n\le 2n^2 [/mm] = [mm] n^2+n^2 \le n^2+2n+1 [/mm] = [mm] (n+1)^2$
[/mm]
Das ist aber falsch, weil [mm] 2n^2 [/mm] nur groesser als [mm] $(n+1)^2$ [/mm] ist fuer [mm] $n\ge 1-\sqrt{2}$ [/mm] und [mm] $n\le 1+\sqrt{2}$
[/mm]
Kann mir jemand sagen, was ich falsche mache?
Schönen Gruß
Johann
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:26 Sa 11.11.2006 | | Autor: | moudi |
> Zeigen Sie [mm]n^2 \le 2^n[/mm] für alle [mm]n \in \IN[/mm] mit [mm]n \not= 3[/mm]
>
> Huhu.
Hallo Phoney
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> Für n+1 klappt es bei mir nicht
>
> Setz es ein
>
> [mm]2^{n+1} = 2*2^n[/mm]
> für [mm]2^n[/mm] die induktionsvoraussetzung
> [mm]2*2^n\le 2n^2 = n^2+n^2 \le n^2+2n+1 = (n+1)^2[/mm]
aber es muss doch heissen:
[mm]2*2^n\ge 2n^2 = n^2+n^2 \ge^{\ast} n^2+2n+1 = (n+1)^2[/mm]
Nun [mm] $\ast$ [/mm] gilt, falls [mm] $n^2\geq [/mm] 2n+1$ das gilt, falls [mm] $n\geq [/mm] 3$, denn die Nullstellen von [mm] $n^2-2n-1$ [/mm] sind [mm] $1\pm\sqrt [/mm] 2$.
mfG Moudi
>
> Das ist aber falsch, weil [mm]2n^2[/mm] nur groesser als [mm](n+1)^2[/mm] ist
> fuer [mm]n\ge 1-\sqrt{2}[/mm] und [mm]n\le 1+\sqrt{2}[/mm]
>
>
> Kann mir jemand sagen, was ich falsche mache?
>
> Schönen Gruß
> Johann
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:32 Sa 11.11.2006 | | Autor: | Phoney |
Mojn.
> > Zeigen Sie [mm]n^2 \le 2^n[/mm] für alle [mm]n \in \IN[/mm] mit [mm]n \not= 3[/mm]
> aber es
> muss doch heissen:
> [mm]2*2^n\ge 2n^2 = n^2+n^2 \ge^{\ast} n^2+2n+1 = (n+1)^2[/mm]
Da htte ich mich vertippt. Aber gut aufgepasst!
> Nun [mm]\ast[/mm] gilt, falls [mm]n^2\geq 2n+1[/mm] das gilt, falls [mm]n\geq 3[/mm],
> denn die Nullstellen von [mm]n^2-2n-1[/mm] sind [mm]1\pm\sqrt 2[/mm].
Ja, aber laut Aufgabe soll das ja für alle n außer n=3 gelten. Warum gilt es also nur noch für n>3? ist meine rechnung denn legitim?
Danke Dir!
Gruß
Phoney
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:35 Sa 11.11.2006 | | Autor: | moudi |
Hallo Phoney
Für n=1 und n=2 setzt man einfach ein und schaut ob es stimmt.
Die Induktion ist dann erst ab n=4 (Verankerung).
mfg Moudi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:38 Sa 11.11.2006 | | Autor: | Phoney |
Hallo nochmals.
Super, jetzt habe ich es begriffen.
Dankeschön!!
Schöne Grüße
Johann :)
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