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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:07 Mo 30.10.2006 | | Autor: | MarinaW |
| Aufgabe | Seien m,n [mm] \in [/mm] IN, m < n und k [mm] \in [/mm] {2,...,n}
a) 0< [mm] a_{n}< \summe_{k=0}^{n} \bruch{1}{k!} [/mm] < 3 (n [mm] \ge [/mm] 2) |
hallo, es ist wirklich dringend. muss die ganze aufgabe mit ihren teilaufgaben vorstellen mir fehlt aber die a)! ich komm da einfach nicht drauf, daher habe ich mich heir angemeldet mit der hoffnung, das mir hier jemand schnell helfen kann. wäre echt wichtig und super lieb von euch .danke schon mal euch lieben
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:43 Mo 30.10.2006 | | Autor: | Sashman |
Moin MarianaW!
Kann dir leider nicht volständig weiterhelfen da ich keine Aussage über den Teil:
[mm] 0
machen kann. Was ist dein [mm] a_n [/mm] z.B.??
Den zweiten Teil erschlägst du recht schnell mit vollständiger Induktion.
[mm] \sum_{k=0}^n\frac{1}{k!}<3
[/mm]
Induktionsanfang und Induktionsvoraussetzung sollten klar sein.
somit zum Induktionsschritt:
[mm] $\sum_{k=0}^{n+1}\frac{1}{k!}=\sum_{k=0}^n\frac{1}{k!}*\frac{1}{(n+1)!}\stackrel{IV}{<}3*\frac{1}{(n+1)!}<3$ $\forall n\in\IN$ [/mm] $n>0$
Vielleicht kannst du ja noch nähere Angaben zum Rest machen.
MfG
Sashman
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:48 Mo 30.10.2006 | | Autor: | MarinaW |
hey, danke. also das ist eigentlich die c) aufgbabe die ich hier habe.
in b) ist [mm] a_{n} [/mm] := (1+ [mm] \bruch{1}{n})^{n}, [/mm] gilt für n [mm] \ge [/mm] 2 : [mm] a_{n+1} [/mm] > [mm] a_{n} [/mm] . ich weiß aber nicht ob man darauf zurückgreifen kann. in teilaufgabe a) kommt kein [mm] a_{n} [/mm] vor, das ist die einzige defintion von [mm] a_{n} [/mm] die wir in der ganzen aufgabe haben. kannst du damit was anfangen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:43 Mo 30.10.2006 | | Autor: | Sashman |
Tach nochmal Marina!
Fangen wir mal an:
[mm] $0
kommt dir dein [mm] a_n [/mm] nicht irgendwie bekannt vor??
Vielleicht in der Form:
Für alle x>-1 und für alle [mm] n\in\IN [/mm] gilt:
[mm] (1+x)^n>1+nx [/mm] (Bernoullische Ungleichung)
da [mm] $\frac{1}{n}>-1$ $\forall n\in\IN$ [/mm] kannst du die Abschätzung nach unten anwenden. Notfalls mußt du die Bernoulli Ungleichung noch mit Hilfe Vollständiger Induktion beweisen. Sollte aber kein Problem darstellen.
[mm] a_n=(1+\frac{1}{n})^n<\sum_{k=0}^n\frac{1}{k!}
[/mm]
Kannst du ebenso über Vollständige Induktion machen.
Nutze im Induktionsschritt aus, das für alle [mm] a,b\in\IR [/mm] mit a>1,b>1 gilt:
a<b [mm] \Rightarrow a^n
ansonsten kriegst du das n+1 im Nenner nur schwierig weg. Die Induktionsvoraussetzung lässt sich leichter auf
[mm] (1+\frac{1}{n})^{n+1} [/mm] anwenden.
Alles klar??
MfG
Sashman
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:52 Mo 30.10.2006 | | Autor: | MarinaW |
danke, ich versuchs nun mal,werd mich später nochmal melden
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:12 Mo 30.10.2006 | | Autor: | MarinaW |
ich habs mir angeguckt, aber ich kann irgendwie nicht damit umgehen. kannst du mir nicht zeigen wie das geht? muss es auch noch verstehen, da ich es morgen in der gruppe vorrechnen soll :-(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:10 Di 31.10.2006 | | Autor: | statler |
Hallo Marina, keine Panik!
Hier ist ein Link:
![[]](/images/popup.gif) Link
In Klartext:
http://www.herder-oberschule.de/madincea/aufg0011/euler-e.pdf
Hilft das? Ich bin leider in Zeitnot.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:35 Di 31.10.2006 | | Autor: | MarinaW |
hö? das verwirrt mich noch mehr! was kann ich denn damit anfangen? ich versteh nur noch bahnhof :-(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:03 Di 31.10.2006 | | Autor: | statler |
Guten Tag Marina!
Willst du
(1 + [mm] \bruch{1}{n})^{n} \le \summe_{k=0}^{n}\bruch{1}{k!} [/mm] beweisen?
Das folgt doch aus dem binomischen Satz für [mm] (a+b)^{n}
[/mm]
(1 + [mm] \bruch{1}{n})^{n} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} (\bruch{1}{n})^{k} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{n!}{k!*(n-k)!}*(\bruch{1}{n})^{k} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n}\bruch{n*(n-1)*..*(n-k+1)}{k!*n^{k}} \le \summe_{k=0}^{n}\bruch{1}{k!}
[/mm]
Gruß
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:53 Di 31.10.2006 | | Autor: | MarinaW |
kann mir noch jemand helfen? ich kann die nicht und muss die heute vorstellen, bitte bitte ist echt wichtig, sonst hätte ich mich hier nicht angemeldet
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:50 Di 31.10.2006 | | Autor: | MarinaW |
kann mir noch jemand helfen?ist echt wichtig. bitte bitte.sonst hätte ich mich hier nicht angemeldet wenn es nicht so dringend wäre :-(
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