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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:35 So 15.11.2015 | | Autor: | JXner |
| Aufgabe | Für alle n [mm] \in [/mm] 2 [mm] \IN [/mm] gilt,
[mm] \summe_{j=2}^{2n} 7^{-j}= \bruch{1}{42} [/mm] - [mm] \bruch{1}{6} [/mm] * [mm] (\bruch{1}{7})^{2n} [/mm] |
Guten Mittag zusammen ^^
letze Frage für Heute, versprochen!
I.V. [mm] \summe_{j=2}^{2n} 7^{-j}= \bruch{1}{42} [/mm] - [mm] \bruch{1}{6} [/mm] * [mm] (\bruch{1}{7})^{2n}
[/mm]
I.B. [mm] \summe_{j=2}^{2(n+1)} 7^{-j}= \bruch{1}{42} [/mm] - [mm] \bruch{1}{6} [/mm] * [mm] (\bruch{1}{7})^{2(n+1)}
[/mm]
Beweis:
[mm] \summe_{j=2}^{2(n+1)} 7^{-j} [/mm] = [mm] (\summe_{j=2}^{2n} 7^{-j}) [/mm] + [mm] 7^{-(n+1)}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{42} [/mm] - [mm] \bruch{1}{6} [/mm] * [mm] (\bruch{1}{7})^{2n} [/mm] + [mm] 7^{-(n+1)}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{6}*(\bruch{1}{7}-1*(\bruch{1}{7})^{2n})+\bruch{1}{7^{n+1}}
[/mm]
Wie löse ich folgende Terme:
- [mm] (\bruch{1}{7})^{2n}) [/mm]
- [mm] \bruch{1}{7^{n+1}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{7^{n}*7}
[/mm]
bzw. stimmt mein bisheriger Rechenweg?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:14 So 15.11.2015 | | Autor: | Ayame |
Du hast leider am Anfang einen kleinen Fehler bei der Aufstaltung der Reihe gemacht.
Du musst auch dran gedenken jeden Schritt der vollständigen Induktion zu machen.
1. Induktionsanfang
wird müssen zeigen, dass die Annahme für überhaupt ein Bespiel gilt.
Wir gucken mal für n=1.
[mm] \summe_{j=2}^{2} 7^{-2}=\bruch{1}{49}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{42}-\bruch{1}{6}*(\bruch{1}{7})^{2}=\bruch{1}{49}
[/mm]
Super also das passt.
2. Induktionsvoraussetzung
wir nehmen an dass die Behauptung
[mm] \summe_{j=2}^{2n} 7^{-j}=\bruch{1}{42}-\bruch{1}{6}*(\bruch{1}{7})^{2n}
[/mm]
für eine endlich Anzahl von Zahlen also 1,2,3,...,n gilt.
3. Induktionsschritt
jetzt wollen wir zeigen, dass die Behauptung egal wie wir n wählen auch
für n+1 gelten muss. Wenn wir das zeigen können, dann gilt es für alle [mm] n\in \IN.
[/mm]
[mm] \summe_{j=2}^{2(n+1)} 7^{-j}=\summe_{j=2}^{2n+2} 7^{-j}= \summe_{j=1}^{2n} 7^{-j} [/mm] + [mm] 7^{-(2n+1)}+ 7^{-(2n+2)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{42} [/mm] - [mm] \bruch{1}{6}*(\bruch{1}{7})^{2n}+(\bruch{1}{7})^{2n+1}+ (\bruch{1}{7})^{2n+2}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{42} [/mm] - [mm] \bruch{\bruch{1}{6}*(\bruch{1}{7})^{2n+2}}{(\bruch{1}{7})^{2}}+\bruch{(\bruch{1}{7})^{2n+2}}{\bruch{1}{7}}+ (\bruch{1}{7})^{2n+2}=\bruch{1}{42} -\bruch{49}{6}*(\bruch{1}{7})^{2n+2}+7*(\bruch{1}{7})^{2n+2}+(\bruch{1}{7})^{2n+2}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{42} +(\bruch{1}{7})^{2n+2}*(-\bruch{49}{6}+7+1)
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{42} -\bruch{1}{6}*(\bruch{1}{7})^{2n+2}=\bruch{1}{42} -\bruch{1}{6}*(\bruch{1}{7})^{2(n+1)}
[/mm]
Tada schon sind wir fertig :)
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Hallo,
laut Aufgabenstellung ist die Induktion über gerade n zu machen, also über n der Form [mm]n=2k[/mm] mit [mm]k\in\IN[/mm]
Demzufolge wäre der Induktionsanfang bei [mm]n=2[/mm] und die Aussage im IA:
[mm]\sum\limits_{j=2}^47^{-j} \ = \ \frac{1}{42}-\frac{1}{6}\cdot{}\frac{1}{7^4}[/mm]
Und der Induktionsschritt wäre von [mm]n\to n+2[/mm] zu führen.
Oder lese ich da was falsch?
Gruß
schachuzipus
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