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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:16 Sa 23.12.2006 | | Autor: | Phoney |
| Aufgabe | Zeigen Sie:
[mm] $\summe_{k=1}^{n}k^3=(\summe_{k=1}^{n}k)^2$ [/mm] |
Hi.
Ich habe hier ein Problem und soll das mit vollständiger Induktion zeigen.
zunächst einmal stimmt es für n=1
Für n [mm] \to [/mm] n+1 habe ich aber ein Problem
[mm] $\summe_{k=1}^{n+1}k^3=(\summe_{k=1}^{n+1}k)^2$
[/mm]
Ich forme um
[mm] $\summe_{k=1}^{n+1}k^3= $\summe_{k=1}^{n}k^3+\summe_{k=n+1}^{n+1}k^3=(\summe_{k=1}^{n+1}k)^2+\summe_{k=n+1}^{n+1}k^3$
[/mm]
Und das soll nun gleich sein mit
[mm] $(\summe_{k=1}^{n+1}k)^2$
[/mm]
Das könnte ich ja auch mal aufsplitten
[mm] $(\summe_{k=1}^{n}k+\summe_{k=n+1}^{n+1}k)^2$
[/mm]
Ich kann das schlecht als Binom ausmultiplizieren.
Habe also keine Ahnung, wie es weitergehen soll/kann oder was schon falsch ist.
Grüße
Phoney
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> Zeigen Sie:
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> [mm]\summe_{k=1}^{n}k^3=(\summe_{k=1}^{n}k)^2[/mm]
> Hi.
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> Ich habe hier ein Problem und soll das mit vollständiger
> Induktion zeigen.
>
> zunächst einmal stimmt es für n=1
>
> Für n [mm]\to[/mm] n+1 habe ich aber ein Problem
>
Hallo,
zu zeigen ist:
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1}k^3=(\summe_{k=1}^{n+1}k)^2[/mm]
>
> Ich forme um
>
> [mm][mm] $\summe_{k=1}^{n+1}k^3= $\summe_{k=1}^{n}k^3+\summe_{k=n+1}^{n+1}k^3
[/mm]
[mm] =(\summe_{k=1}^{n}k)^2+(n+1)^3.
[/mm]
Weiter kommst Du nun, wenn Du Dich daran erinnerst, daß [mm] \summe_{k=1}^{n}k=\bruch{n}{2}(n+1) [/mm] ist.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:13 Sa 23.12.2006 | | Autor: | Phoney |
Hi.
Danke euch beiden. Vor allem dir, angela.h.b.
Hat super geklappt. Zudem habe ich eine weitere "Formel" gelernt bzw. dessen Wichtigkeit erkannt.
Hat mir sehr geholfen. Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:35 Sa 23.12.2006 | | Autor: | riwe |
ich würde mit VI getrennt zeigen, dass beide terme gleich sind, nämlich [mm] \frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4} [/mm] bzw. [mm]( \frac{n(n+1)}{2} )^{2}[/mm]
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