vollst. Induktion - Partialbru < Induktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | (i) Bestimmen Sie mittels Partialbruchzerlegung die rationale Folge in n, die der Summe [mm] \summe_{k=3}^{n} \bruch{1}{k^{2}-3k+2}, n\in\IN, n\ge3 [/mm] entspricht.
(ii) Beweisen Sie Ihr Ergebnis mittels vollständiger Induktion. |
Bei (i) kam ich durch lustiges Rumrechnen auf [mm] \summe_{k=3}^{n} \bruch{1}{k-2}- \bruch{1}{k-1}.
[/mm]
Nun habe ich Verständnisprobleme bei (ii).
Ich habe es folgendermaßen weit geschafft:
Induktionsanfang: [mm] \summe_{k=3}^{3} \bruch{1}{k^{2}-3k+2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] = [mm] \summe_{k=3}^{3} \bruch{1}{k-2}-\bruch{1}{k-1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3-2}-\bruch{1}{3-1}
[/mm]
Induktionsvoraussetzung: für ein n, n [mm] \in\IN [/mm] gilt: [mm] \summe_{k=3}^{n} \bruch{1}{k^{2}-3k+2}=\summe_{k=3}^{n} \bruch{1}{k-2}-\bruch{1}{k-1}
[/mm]
Induktionsbehauptung: es soll gelten [mm] \summe_{k=3}^{n+1} \bruch{1}{k^{2}-3k+2} [/mm] = [mm] \summe_{k=3}^{n+1} \bruch{1}{k-2}-\bruch{1}{k-1}
[/mm]
Ich hoffe, dass bis jetzt alles korrekt ist. Jetzt fehlt mir der (er)lösende Anfang für den Induktionsschritt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:03 Di 06.12.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo photonendusche!
> Bei (i) kam ich durch lustiges Rumrechnen auf [mm]\summe_{k=3}^{n} \bruch{1}{k-2}- \bruch{1}{k-1}.[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Aber Du bis noch lange nicht fertig. Du sollst ja eine summenfreie Darstellung finden (Stichwort: Teleskopsumme).
Diesen neuen Term (welcher einen nicht ganz komplizierten Bruch darstellt), sollst Du dann mittels Induktion nachweisen.
Gruß
Loddar
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Kannst du mir ein Tipp geben, wie ich das Summenzeichen wegbekomme?
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Hallo!
Schreib dir die Summe doch mal für die ersten fünf Glieder heraus.
Was stellst du fest? Wie wird wohl das Endergebnis der Summe lauten?
Valerie
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> Hallo!
> Schreib dir die Summe doch mal für die ersten fünf
> Glieder heraus.
> Was stellst du fest? Wie wird wohl das Endergebnis der
> Summe lauten?
> Valerie
>
1-n?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:24 Di 06.12.2011 | | Autor: | leduart |
Nein
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