vollst. Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:56 So 06.04.2008 | | Autor: | efer |
| Aufgabe | Man beweise für alle reellen Zahlen x und natürlichen Zahlen k
[mm] \vektor{-x \\ k} [/mm] = [mm] (-1)^{k}\vektor{x+k-1\\k}
[/mm]
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Mein Problem liegt jetzt darin, dass das x eine reelle Zahl ist.
Was ich also fragen wollte ist, ob ich diese Definition verwenden kann:
[mm] \vektor{x\\k}=\bruch{x!}{k!(x-k)!}
[/mm]
oder ob ich nur mit dieser Definition arbeiten darf:
[mm] \vektor{x\\k}=\produkt_{j=1}^{k}\bruch{x-j+1}{j}
[/mm]
und weiters wäre ich sehr dankbar für Lösungsansätze!
Danke schonmal im Vorhinein!
LG Eva
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:18 So 06.04.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Da die Fakultät nur für natürliche Zahlen definiert ist gilt natürlich nur die 2.te Definition.
Dann einfach k=1 einsetzen und normale Induktion.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:44 So 06.04.2008 | | Autor: | efer |
Ok leuchtet ein.
Bei der Umsetzung happerts noch ein bisschen...
Bis jetzt hab ich mal soviel:
[mm] \vektor{-x\\k+1} [/mm] = [mm] \vektor{-x\\k}\bruch{-x-k}{k+1}
[/mm]
= [mm] (-1)^{k+1}{{x+k-1\choose{k}}}\frac{x+k}{k+1}
[/mm]
= [mm] (-1)^{k+1}\produkt_{j=1}^{k+1}{\frac{x+k-j}{j}}\frac{x+k}{x-1}
[/mm]
soweit alles richtig??
und wie komm ich dann auf das:
= [mm] (-1)^{k+1} {{x+k}\choose{k+1}}
[/mm]
?
Lg
eva
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:16 So 06.04.2008 | | Autor: | zahllos |
Hallo,
Es ist:
[mm] \vektor{-x \\ k+1}=\produkt_{j=1}^{k+1}\frac{-x+1-j}{j}=\vektor{-x \\ k}\frac{-x+1-k-1}{k+1}= [/mm] (nach Induktionsannahme)
[mm] =(-1)^k\vektor{x+k-1 \\ k}(-1)\frac{x+k}{k+1}=(-1)^{k+1}\vektor{x+k \\ k+1}
[/mm]
(Ich hoffe ich habe alle k und j richtig gesetzt, die Vorschau geht nämlich gerade nicht!)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:34 So 06.04.2008 | | Autor: | efer |
Ok. Es beruhigt mich, dass mein Ansatz richtig war. :)
Jetzt fehlt mir nur noch der letzte Schritt.
Bin scheinbar mit dem Produktzeichen auf Kriegsfuß...
Wie bekomm ich den Bruch in das Produkt?
[mm] \prod_{j=1}^{k}{\frac{x+k-j}{j}}\frac{x+k}{k+1}
[/mm]
Danke schonmal!
LG
eva
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:59 So 06.04.2008 | | Autor: | leduart |
Schreib doch einfach den letzten Faktor mal hin, wenn das Produkt bis k+1 geht, also die "richtige Form hat!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:39 Mo 07.04.2008 | | Autor: | efer |
.. kann ja sein, dass ich total auf der Leitung steh.. komm irgendwie nicht zu Lösung...
also wenn ich das so ausschreib wie du sagst schaut das bei mir so aus:
[mm] {{x+k}\choose{k+1}}=\prod_{j=1}^{k+1}{\frac{x+k-j+1}{j}}
[/mm]
[mm] =\frac{x+k}{1} \frac{x+k-1}{2}...\frac{x+1}{k} \frac{x}{k+1}
[/mm]
und wie kann ich den Bruch jetzt reinbringen?
[mm] \frac{x+k}{k+1}
[/mm]
ich seh da keinen Zusammenhang :(
Lg Eva
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> also wenn ich das so ausschreib wie du sagst schaut das
> bei mir so aus:
> [mm]{{x+k}\choose{k+1}}=\prod_{j=1}^{k+1}{\frac{x+k-j+1}{j}}[/mm]
> [mm]=\frac{x+k}{1} \frac{x+k-1}{2}...\frac{x+1}{k} \frac{x}{k+1}[/mm]
>
> und wie kann ich den Bruch jetzt reinbringen?
> [mm]\frac{x+k}{k+1}[/mm]
Hallo,
schieb mal die Nenner "um einen nach rechts":
> [mm]{{x+k}\choose{k+1}}=\prod_{j=1}^{k+1}{\frac{x+k-j+1}{j}}[/mm]
> [mm]=\frac{x+k}{1} \frac{x+k-1}{2}...\frac{x+1}{k} \frac{x}{k+1}[/mm]
[mm] =\frac{x+k}{k+1}* \frac{x+k-1}{1}*...*\frac{x+1}{k-1} *\frac{x}{k}
[/mm]
= [mm] \frac{x+k-1}{1}*...*\frac{x+1}{k-1} *\frac{x}{k}*\frac{x+k}{k+1}
[/mm]
[mm] =\vektor{x+k-1 \\ k}*\frac{x+k}{k+1}
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:18 Mo 07.04.2008 | | Autor: | efer |
Aaaaah! Super!
Endlich gecheckt :D
Danke für eure super Antworten!
LG
Eva
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