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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:57 Fr 10.11.2006 | | Autor: | maybe. |
| Aufgabe | man zeige:
[mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN, \forall [/mm] k [mm] \in \IN \cup [/mm] {0} gilt:
[mm] \vektor{n \\ k} \bruch{1}{n^{k}} \le \bruch{1}{k!}
[/mm]
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Ich wollte das ganze mit vollständiger induktion zeigen, aber beim induktionsschritt hängts...
die behauptung lässt sich ja umformen in:
n! [mm] \le n^{k}(n-k)!
[/mm]
dann muss man zeigen :
n! [mm] \le n^{k}(n-k)! \Rightarrow [/mm] (n+1)! [mm] \le (n+1)^{k}(n-k+1)!
[/mm]
aber genau das schaffe ich nicht.
selbst wenn ich (n+1)! = (n+1)n! ausnutze kommt nix vernünftiges dabei raus, das hängt vorallem an dem [mm] (n+1)^{k}, [/mm] das ich nicht klein kriege.
wär nett wenn mal jemand einen denkanstoss posten könnte!
Ich hab dir Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Zunächst k=0, das ist offensichtlich richtig: 1 [mm] \le [/mm] 1.
Umformung ergibt, das zu zeigen ist: [mm] \bruch{n!}{(n-k)!} \le n^k
[/mm]
Nun ist
[mm] \bruch{n!}{(n-k)!} [/mm] = n * (n-1) * ... * (n-k+1)
Das sind k Faktoren, die alle [mm] \le [/mm] n sind. qed
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:28 Fr 10.11.2006 | | Autor: | maybe. |
ja. richtig. manchmal sieht man den wald vor lauter bäumen nicht ;)
vielen dank!!
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