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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:18 Di 27.11.2007 | | Autor: | bliblub |
a) gegeben sei die Funktion f mit F (x) = [mm] x^2 [/mm] - 3
Berechne:
[mm] \integral_{0}^{3}{f(x) dx} (x^2 [/mm] - 3) dx
So um das zu tun muss ich erstmal die Stammfunktion finden indem Falle ist diese:
F= [mm] 1/3x^3 [/mm] -3x richtig?
Nun habe ich eingesetzt für x
[mm] \integral_{0}^{3}{f(x) dx} [/mm] (1/3 [mm] \* (3)^3 [/mm] - 3 [mm] \* [/mm] (3) ) - (1/3 [mm] \* (0)^3 [/mm] - 3 [mm] \* [/mm] (0) )
= ( 9 - 9) - (0 - 0)
=0 ich bezweifel aber, dass das das richtige Ergebnis sein soll Ist jetzt das Integral von [mm] \integral_{0}^{3}{f(x) dx} [/mm] = 0 hab ich überall alles richtig gemacht bzw gerechnet?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:27 Di 27.11.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Du hast vollkommen richtig gerechnet. Das Problem ist, dass sich die blauen Flächen gegenseitig aufheben.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wenn du den Flächeninhalt berechnen willst, musst du die Nullstelle berechnen, hier [mm] \wurzel{3} [/mm] und das Integral wie folgt berechnen.
[mm] \integral_{0}^{3}(x²-3)dx=|\integral_{0}^{\wurzel{3}}(x²-3)dx|+\integral_{\wurzel{3}}^{3}(x²-3)dx
[/mm]
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:52 Di 27.11.2007 | | Autor: | bliblub |
Um den Flächeninhalt geht es in der zweiten Teilaufgabe dieser Aufgabe jetzt heißt es:
Berechne den Flächeninhalt der gesamten Fläche zwischen dem Graphen und der 1. Achse . Über dem Intervall 0;3.
Dass ich die Nullstellen berechnen sollte wusste ich ABER wie sähe es aus wenn ich im Intervall 0; -3 den Flächeninhalt berechnen sollte? Dann müsste ich doch mit der Nullstelle - [mm] \wurzel{3} [/mm] arbeiten richtig?
Aber zu meiner wichtigsten Frage:
So wie du im Beispiel dass du vorgegeben hast kann ich das nachvollziehen. Nur wenn ich jetzt quasi Obersumme - Untersumme rechne laut deiner Rechnung habe ich ja quasi noch mehr Möglichkeiten in das x einzusetzen die mich verwirren
einmal [mm] \integral_{0}^{\wurzel{3}}{f(x) dx} (x^2 [/mm] - 3) bei der ersten in deinem Beispiel bei der ersten klammern? Muss ich dort jetzt [mm] \wurzel{3} [/mm] oder 0 einsetzen in die Klammer?
und bei [mm] \integral_{\wurzel{3}}^{3}{f(x) dx} (x^2 [/mm] - 3) was setze ich in der klammer ein für das x?
Und das wichtigste zum Schluss. Muss ich nicht wieder als klammer [mm] 1/3x^3 [/mm] -3x in der klammer haben und das DORT einsetzen oder DIESMAL in [mm] (x^2 [/mm] -3) einsetzen und die beiden klammern dann subtrahieren um den flächeninhalt zu bekommen?
und warum hast du bei der einen klammer nen betragszeichen gesetzt?
und ^^ wie wirkt sich das mit dem intervall aus muss ich das in die rechnung mit einbringen? wie sähe die rechnung ohne un dmit intervall aus?
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Hallo!
Genau, dein x wäre dann -3 und du müsstest mit der [mm] -\wurzel{3} [/mm] rechnen.
Zur nächsten Frage:
>Aber zu meiner wichtigsten Frage:
So wie du im Beispiel dass du vorgegeben hast kann ich das nachvollziehen. Nur wenn ich jetzt quasi Obersumme - Untersumme rechne laut deiner Rechnung habe ich ja quasi noch mehr Möglichkeiten in das x einzusetzen die mich verwirren.....
>>
Für deine Obersumme setzt du [mm] \wurzel{3} [/mm] ein und für deine Untersumme 0 natürlich in deine Stammfunktion nachdem du dein Integral berechnet hast. Für das 2. Integral machst du das entsprechend. Also für die Obersumme 3 und für die Untersumme [mm] \wurzel{3} [/mm] . (Auch in deine Stmmfunktion :) )
Diese Aussage versteh ich nicht!
>>Und das wichtigste zum Schluss. Muss ich nicht wieder als klammer 1/3x³ -3x in der klammer haben und das DORT einsetzen oder DIESMAL in x² -3) einsetzen und die beiden klammern dann subtrahieren um den flächeninhalt zu bekommen?
>>
Die Betragsstriche sind wichtig weil der Flächeninhalt auch negativ werden kann. Du musst ja beide Flächeninhalte (hast ja auch 2 Integrale) addieren. Und stell dir mal vor der erste Flächeninhalt ist kleiner als der 2. Flächeninhalt und schon bekommst du was negatives heraus. um das zu vermeiden setzt du betragsstriche. Mach das immer wenn du 2 F.I addieren musst.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:03 Di 27.11.2007 | | Autor: | bliblub |
Für deine Obersumme setzt du $ [mm] \wurzel{3} [/mm] $ ein und für deine Untersumme 0 natürlich in deine Stammfunktion nachdem du dein Integral berechnet hast. Für das 2. Integral machst du das entsprechend. Also für die Obersumme 3 und für die Untersumme $ [mm] \wurzel{3} [/mm] $ . (Auch in deine Stmmfunktion :) )
Aber ich kann doch nur jeweils EINE von beiden für x einsetzen? entweder [mm] \wurzel{3} [/mm] ODER 0
$ [mm] \integral_{0}^{3}(x²-3)dx=|\integral_{0}^{\wurzel{3}}(x²-3)dx|+\integral_{\wurzel{3}}^{3}(x²-3)dx [/mm] $
Ich versteh nicht welche von den 4 möglichkeiten die ich habe
[mm] \wurzel{3} [/mm] , 0 , 3 und nochmal [mm] \wurzel{3} [/mm] ich jeweils wann und wo einsetzen kann.........und natürlich ob ich erst für beide klammern wieder die stammfunktion brauche ODER ob ich die dann in die ausgansfunktion so wie oben geschrieben in [mm] (x^2-3) [/mm] einsetzen kann in beide klammern.......
Ist es so dass ich jeweils die Nullstellen einsetze und die 0 und die 3 außer Acht lasse?
Dann sähe dass bei mir so aus (mit der Stammfunktion:
= (1/3) [mm] \* (\wurzel{3})^3 [/mm] - 3 [mm] \*\wurzel{3} [/mm]
und für die zweite klammer nach dem +
halt genauso da würde ich dann auch nicht 3 einsetzen für das x sondern halt wieder wurzel 3........
<<
Diese Aussage versteh ich nicht!
>>Und das wichtigste zum Schluss. Muss ich nicht wieder als klammer 1/3x³ -3x in der klammer haben und das DORT einsetzen oder DIESMAL in x² -3) einsetzen und die beiden klammern dann subtrahieren um den flächeninhalt zu bekommen?
Das war meine Frage die sich wieder stellt .......ob ich nun alles erstmal in die Stammfunktion umwandel und dass dort einsetze oder halt in die Ausgangsfunktion weil die steht ja so im bsp vom Vorredner dort
$ [mm] \integral_{0}^{3}(x²-3)dx=|\integral_{0}^{\wurzel{3}}(x²-3)dx|+\integral_{\wurzel{3}}^{3}(x²-3)dx [/mm] $
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:33 Di 27.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Vielleicht wird dir alles klarer, wenn du das als 2 halbe Aufgaben betrachtest:
a) bestimme den Flächeninhalt zwischen 0 und [mm] \wurzel [/mm] 3.
Dann musst du die Stammfunktion bestimmen, die Grenzen 0 und [mm] \wurzel{3} [/mm] einsetzen. du bekommst was negatives raus. der Flächeninhalt ist der Betrag davon.
b) bestimme die Fläche von [mm] \wurzel{3} [/mm] bis 3, wieder Stammfkt, wieder an der oberen Grenze - an der unteren Grenze.
c) für die Gesamtfläche addiere die Flächen, die du bei a) und b) erhalten hast.
d) jetzt kann man das ( a und b ) in einer Formel machen, muss aber nicht!
Ich find für den anfang die getrennte Rechnung einfacher!
(die Funktion selbst tritt dabei immer nur im Integra auf, du hast also nur mit der Stammfunktion zu tun, in die du die Grenzen einsetzt, nirgends mit der fkt. selbst)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:47 Di 27.11.2007 | | Autor: | bliblub |
Tut mir leid musste wegen eines Arzt Termines weg konnte jetzt erst wieder losrechnen:
Also habe jetzt folgendes getan leduart.......
[mm] \integral_{0}^{\wurzel{3}}{f(x) dx} [/mm] ( 1/3 [mm] \* (\wurzel{3})^3 [/mm] - 3 [mm] \* \wurzel{3}) [/mm] - ( (1/3) [mm] \* (0)^3 [/mm] - 3 [mm] \*(0) [/mm] )
= - 3.4641 .... und das muss ich jetzt in betragsstriche setzen?
dann:
[mm] \integral_{\wurzel{3}}^{3}{f(x) dx} [/mm] (1/3 [mm] \* (3)^3 [/mm] - 3 [mm] \*(3) [/mm] ) - (1/3 [mm] \* (\wurzel{3})^3 [/mm] - 3 [mm] \* \wurzel{3})
[/mm]
kommt ebenfalls = -3.4641 raus hab die erste klammer in betragsstricken würde ich das jezt addieren käme trotzdem 0 heraus das kann jetzt nicht sein wo liegt mein fehler?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:59 Di 27.11.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Tut mir leid musste wegen eines Arzt Termines weg konnte
> jetzt erst wieder losrechnen:
>
> Also habe jetzt folgendes getan leduart.......
>
> [mm]\integral_{0}^{\wurzel{3}}{f(x) dx}[/mm] ( 1/3 [mm]\* (\wurzel{3})^3[/mm]
> - 3 [mm]\* \wurzel{3})[/mm] - ( (1/3) [mm]\* (0)^3[/mm] - 3 [mm]\*(0)[/mm] )
>
> = - 3.4641 .... und das muss ich jetzt in
> betragsstriche setzen?
Wenn du den Flächeninhalt haben willst, ja. Denn dieser kann ja nicht negativ werden.
>
> dann:
>
> [mm]\integral_{\wurzel{3}}^{3}{f(x) dx}[/mm] (1/3 [mm]\* (3)^3[/mm] - 3 [mm]\*(3)[/mm]
> ) - (1/3 [mm]\* (\wurzel{3})^3[/mm] - 3 [mm]\* \wurzel{3})[/mm]
>
> kommt ebenfalls = -3.4641 raus
Da sollte aber [mm] \red{+}3,4641 [/mm] herauskommen.
[mm] (\bruch{3³}{3}-3*3)-(\bruch{(\wurzel{3})³}{3}-3*\wurzel{3})
[/mm]
[mm] =(9-9)-(\bruch{3*\wurzel{3}}{3}-3*\wurzel{3})
[/mm]
[mm] =(0)-(1*\wurzel{3}-3*\wurzel{3})
[/mm]
[mm] =-(-2\wurzel{3})
[/mm]
[mm] =2\wurzel{3}
[/mm]
[mm] \approx3,46
[/mm]
Ich vermute, du hast bei der Minusklammer was verdreht
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:22 Di 27.11.2007 | | Autor: | bliblub |
> $ [mm] \integral_{\wurzel{3}}^{3}{f(x) dx} [/mm] $ (1/3 $ * [mm] (3)^3 [/mm] $ - 3 $ *(3) $
> ) - (1/3 $ * [mm] (\wurzel{3})^3 [/mm] $ - 3 $ * [mm] \wurzel{3}) [/mm] $
>
> kommt ebenfalls = -3.4641 raus muss ich dort auch betragsstriche setzen? Oder + statt - oder hab ich mich einfach nur verrechnet?
Habe das Prinzip an sich verstanden nur mir wird noch nicht ganz klar was das Intvervall in dem Fall 0;3 damit zu tun hat ist das Intvervall wirklich NUR dazu da um zu gucken nach welcher Nullstelle ich den Flächeninhalt bearbeiten muss oder hat es noch eine andere Funktion?
Wenn das geklärt ist und ihr noch zeit habt würde ich gerne noch eine zweite Aufgabe beginnen.....
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Hallo, schaue dir dazu erneut die Zeichnung von M.Rex an, im Intervall von 0 bis 3 liegt ein Teil unterhalb der x-Achse, der andere Teil oberhalb der x-Achse, teilst du es nicht in zwei Intervalle auf, so hast du eine "negative" und eine "positive" Gesamtfläche, in deinem Beispiel sind die auch noch gleich groß, so dass die Fläche Null ergibt, wie du in der Zeichnung siehst kann das ja nicht stimmen, beachte also immer, ob in deinem Intervall eine Nullstelle liegt, diese unterteilt dein Intervall in zwei Teilintervalle, hast du mehrere Nullstellen, so können es auch mehrere Teilintervalle sein. Liegen keine Nullstellen im Intervall, so brauchst du die Teilintervalle nicht beachten.
Nach dem Motto, zwei Jäger haben den Rehbock im Durchschnitt erschossen, einer hat 40cm links, der andere 40cm rechts vorbeigeschossen.
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:14 Di 27.11.2007 | | Autor: | bliblub |
Ich denke ich konnte zu 70%nachvollziehen was ihr da so geschrieben habt und wollte mich für eure Hilfe bedanken.
Ist echt ein super Forum hier....
Muss allerdings mal meinen Status verändern von Klasse 11 Gymnasium auf Oberstufe 12..
Würde euch noch bitten mir beim erstellen eines Schemas zu helfen da ich gerne nach Schemen lerne.....Flächenberechnung bei Integralen ? was ist zu tun? erstens, zweitens, drittens......
Ich würde einfach mal beginnen mit dem Schema falls ich Fehler mache bitte eingreifen:
1.Nullstellen berechnen falls vorhanden
2. Stammfunktion erstellen
3. Die Nullstelle jeweils einmal für Obersumme und Untersumme einsetzen
Bei Klammern die dann ein negatives ergebnis liefern würden Betragsstriche setzen
dann beide klammern subtrahieren? oder addieren? habe in der rechnung zuvor glaube ich subtrahiert...
4. ergebnis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:35 Di 27.11.2007 | | Autor: | Tavaril |
Also ich würde folgendes schema vorschlagen:
1) Nullstellen berechnen
2) setzt einen wert für x der zwischen zwei nullstellen liegt in f(x) ein. bekommst du ein positives ergebnis liegt der graph in diesem abschnitt oberhalb der x achse, also ergibt sich bei der berechnung des integrals automatisch der flächeninhalt.
bekommst du allerdings durch einsetzen in f(x) eine negative zahl verläuft der graph unterhalb der x achse und der betrag vom integral ist der flächeninhalt
3) integral von der rechten grenze bis zu ersten nullstelle von recht berechnen, entweder den betrag oder den normalen wert des integrals verwenden (das hast du ja in 2 entschieden)
dann das integral von der ersten nullstelle zur zweiten nullstelle bilden. wieder entweder den betrag oder den normalen wert des integrals notieren.
so arbeitest du dich durch alle nullstellen durch, die in dem gefragten intervall liegen, bis du bei der oberen grenze angelangt bist, bis zu der du den flächeninhalt bestimmen sollst.
4) addiere alle werte, die du dir in den einzelnen abschnitten notiert hast.
das ist dein flächeninhalt.
klingt alles aufwendiger als es ist, denn meistens hast du bloß ein oder zwei, wenns hochkommt mal drei nullstellen in deinem gefragten intervall.
ein beispiel: wir nehmen an, du sollst den flächeninhalt unter einer funktion f(x) im intervall von null bis 4 berechnen.
im ersten schritt findest du raus, dass es eine nullstelle bei x=2 gibt.
dann setzt du mal einen wert zwischen null und zwei in f(x) ein, nehmen wir mal f(1) dafür kriegst du ein positives ergebnis. wunderbar, du berechnest also das integral von null bis 2 und musst auf nichts achten, weil der graph eh oberhalb der x achse verläuft. den wert des integrals notierst du!
jetzt wendest du dich dem nächsten abschnitt zu. das ist der abschnitt von 2 bis vier. zuerst müssen wir wissen, ob der graph hier oberhalb oder unterhalb der x achse verläuft, setzten also einen wert zwischen 2 und 4 in di funktion ein. f(3) sei mal negativ. dann verläuft der graph unter der x achse und du erhältst durch bilden des integrals von 2 bis 4 einen negativen wert. dessen betrag ist dein flächeninhalt von 2 bis vier
den addierst du dann zu deinem vorher berechneten flächeninhalt von 1 bis 2 und erhältst den flächeninhalt unter der funktion im intervall 1 bis 4
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