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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:52 Mo 27.06.2005 | | Autor: | holg47 |
Hallo!!
Ich verstehe nicht ganz die "Reihenfolge" der verschiedenen Integrale, also welches Integral "über" ein anderes steht. Also die Erweiterung von einem Integral zum nächsten.
Also ich habe mittlerweile Regelintegrale, Integrale für stetige Funktionen mit kompaktem Träger, Integrale für halbstetige Funktionen und des Lebesgue-Integrals behandelt.
Liege ich dann richtig, wenn:
1. Das "Regelintegral" ist nur für den [mm] \IR [/mm] und die Vorraussetzung für eine regelintegrierbare Funktion ist Stetigkeit der Funktion f
2. Das nächst "höhere" Integral ist das Integral für stetige Funktionen mit kompaktem Träger. Die Vorraussetzungen sind f ist stetig und Träger kompakt. Das Integral ist über den [mm] \IR^n [/mm] anwendbar. Also Erweiterung von [mm] \IR [/mm] zu [mm] \IR^n
[/mm]
3. Das nächst "höhere" Integral ist das Integral der halbstetigen Funktionen. Hier sind auch Funktionen zugelassen, die zur Klasse B+ gehören also auch Funktion mit +unendlich, der Träger muß nicht mehr kompakt sein und es genügt eben die Halbstetigkeit. Das Integral ist über den [mm] \IR^n [/mm] anwendbar.
4. Das "höchste" (mir bekannte) ist das Lebesgue-Integral. Das Integral ist über den [mm] \IR^n [/mm] anwendbar.
Aber wie unterscheidet sich das Lebesgue-Integral vom Integral für halbstetige Funktionen? Wo ist hier die Erweiterung?? SInd meine Annahmen 1-4 richtig?
Vielen Dank im Voraus!!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:11 Mo 27.06.2005 | | Autor: | SEcki |
> 1. Das "Regelintegral" ist nur für den [mm]\IR[/mm] und die
> Vorraussetzung für eine regelintegrierbare Funktion ist
> Stetigkeit der Funktion f
Nein, ein solches f ist in maximal in abzählbar vielen Stellen unstetig, aber das kann durchaus sein.
> 2. Das nächst "höhere" Integral ist das Integral für
> stetige Funktionen mit kompaktem Träger. Die
> Vorraussetzungen sind f ist stetig und Träger kompakt. Das
> Integral ist über den [mm]\IR^n[/mm] anwendbar. Also Erweiterung
> von [mm]\IR[/mm] zu [mm]\IR^n[/mm]
Mir scheint es fast eher wie ein erster Schritt in Richtung Lebesgue , kann man aber vllcht auch unabgängig sein (wie hatten das so nie)
> 3. Das nächst "höhere" Integral ist das Integral der
> halbstetigen Funktionen. Hier sind auch Funktionen
> zugelassen, die zur Klasse B+ gehören also auch Funktion
> mit +unendlich, der Träger muß nicht mehr kompakt sein und
> es genügt eben die Halbstetigkeit. Das Integral ist über
> den [mm]\IR^n[/mm] anwendbar.
Das scheint durchaus so zu sein, denn diese entstehen ja aus 2. durch Approximation.
> 4. Das "höchste" (mir bekannte) ist das Lebesgue-Integral.
> Das Integral ist über den [mm]\IR^n[/mm] anwendbar.
Quasi ja, man kann fast alles inetrgrieren - allerdings gibt es auch uneigentlich Regel/Rieman integrierbare Funktionene, die nicht (!) Lebesgue-integrierbar sind, zB [m]\int_0^{\infty} \bruch{\sin(x)}{x}\mbox{d}x[/m]. In wiefern alle halbstetige integrierbaren Funktionen, Lebesgue-Integrierbar sind weiß ich leider nicht - frag doch mal den Prof, 
> Aber wie unterscheidet sich das Lebesgue-Integral vom
> Integral für halbstetige Funktionen? Wo ist hier die
> Erweiterung?? SInd meine Annahmen 1-4 richtig?
Also beim Lebesgue-Integral darfst du auf eienr Nullmenge beliebig verändern - Zb auf allen rationalen Funktionen die Funktion zB [m]-\infty[/m] setzen, das dürfte sich wohl mit halbstetig beissen, oder?
SEcki
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