verknüpfte abelsche gruppen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:23 So 09.10.2005 | | Autor: | labatnic |
Hallo!
Ich habe folgendes Problem:
"Gib alle abelschen Gruppen der Ordnung 12 (bis auf Isomorphie genau) durch geeignete Prdodukte zyklicher Gruppen an!"
Soweit, so gut.
Ich weiß dass C2xC2xC3 und C12 die Lösung ist. Ich sehe auch ein wieso C2xC6 keine Lösung ist (weil C6 keine primpotente Ordnung hat). Wieso ist allerdings C3xC4 keine Lösung?
Ich vermute mal, dass C3xC4 nicht abelsch ist, weiß aber nicht wie ich das zeige und ob es nicht einen einfacheren Trick (Satz) gibt, aus dem das direkt folgt.
Dadran beiße ich mir die Zähne aus. :(
Außerdem würde mich interessieren, inwiefern C2xC6 mit D6 zusammenhängt.
Vielen Dank für eure Hilfe!!
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C entspricht zyklischer Gruppe
D entspricht Diedergruppe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:43 So 09.10.2005 | | Autor: | andreas |
hi
> "Gib alle abelschen Gruppen der Ordnung 12 (bis auf
> Isomorphie genau) durch geeignete Prdodukte zyklicher
> Gruppen an!"
>
> Soweit, so gut.
> Ich weiß dass C2xC2xC3 und C12 die Lösung ist. Ich sehe
> auch ein wieso C2xC6 keine Lösung ist (weil C6 keine
> primpotente Ordnung hat). Wieso ist allerdings C3xC4 keine
> Lösung?
> Ich vermute mal, dass C3xC4 nicht abelsch ist, weiß aber
> nicht wie ich das zeige und ob es nicht einen einfacheren
> Trick (Satz) gibt, aus dem das direkt folgt.
also erstmal: das produkt abelscher gruppen mit komponentenweiser verknüpfung ist immer wieder eine abelsche gruppe! daher hier vielleicht ein anderer ansatz zur lösung: es gilt [m] C_3 \times C_4 \cong C_{12} [/m]. überlege dir einmal, auf was man $(a, b)$ abbilden könnte, wenn $a$ ein erzeuger von [mm] $C_3$ [/mm] und $b$ ein erzeuger von [mm] $C_4$ [/mm] ist (welche ordnung hat denn dieses element?)?
> Außerdem würde mich interessieren, inwiefern C2xC6 mit D6
> zusammenhängt.
dabei kann ich dir leider nicht weiterhelfen - vielleicht jemand anders ?
grüße
andreas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:51 Mo 10.10.2005 | | Autor: | statler |
Auch hallo!
> Außerdem würde mich interessieren, inwiefern C2xC6 mit D6
> zusammenhängt.
>
> C entspricht zyklischer Gruppe
> D entspricht Diedergruppe
Das ist etwas, was man manchmal auch ein semi-direktes Produkt nennt. D6 ist ja nicht kommutativ, hat aber zu C2 (mehrere) und C6 (eine) isomorphe Untergruppen. Wenn jetzt c so ein C2 erzeugt und d die C6, dann ist
[mm] c*d*c^{-1} [/mm] = [mm] d^{5} [/mm] = [mm] d^{-1}.
[/mm]
In Worten: Der innere Automorphismus mit c bildet ein erzeugendes Element von C6 in das andere erzeugende Element ab. Damit ist er dann auch festgelegt.
Mehr weiß ich im Moment auch nicht.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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